Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#1

: Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png (29.88 KiB) Προβλήθηκε 1155 φορές

Έστω $\varphi$ η οξεία γωνία δύο μη καθέτων τεμνομένων ευθειών $\left( a \right),\left( b \right)$ και ας είναι και τα μήκη των ορθών προβολών δύο τμημάτων

του επιπέδου των ευθειών στις $\left( a \right),\left( b \right)$ αντίστοιχα. Να δειχθεί η ισοδυναμία : $\boxed{MN \bot M'N' \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{a \cdot b' + a' \cdot b}}}$

Στάθης

#2

Στάθη καλησπέρα.

Δίνω μια λύση για το ορθό της πρότασής σου, ΔΙΧΩΣ να χρησιμοποιήσω το Θεώρημα Κούτρα.

Θα αναζητήσω και λύση, μέσω του Θεωρήματός σου, που να περιέχει και το αντίστροφο.

: 21-01-2017 Γεωμετρία.jpg (24.35 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Έστω $\displaystyle MN \bot M'N'$ .
Ονομάζω τις γωνίες στο σχήμα.

Τότε $\displaystyle b = MN\cos t,\;\;a = MN\sin \omega ,\;\;b' = M'N'\sin t,\;\;a' = M'N'\cos \omega$

Οπότε $\displaystyle \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{a \cdot b' + a' \cdot b}} = \frac{{\sin \omega \cdot \cos \omega + \sin t \cdot \cos t}}{{\sin \omega \cdot \sin t + \cos \omega \cdot \cos t}}=$

$\displaystyle = \frac{{2\sin \omega \cdot \cos \omega + 2\sin t \cdot \cos t}}{{2\left( {\sin \omega \cdot \sin t + \cos \omega \cdot \cos t} \right)}} = \frac{{\sin 2\omega + \sin 2t}}{{2\cos \left( {t - \omega } \right)}} =$

$\displaystyle = \frac{{2\sin \left( {\omega + t} \right) \cdot \cos \left( {\omega - t} \right)}}{{2\cos \left( {\omega - t} \right)}} = \sin \left( {\omega + t} \right) = \sin \left( {90^\circ - \varphi } \right) = cos\varphi$ , αφού είναι $\displaystyle \omega + t = 90^\circ - \varphi$ .

#3

Καλημέρα σε όλους. Δίνω ακόμα μια προσέγγιση, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Στάθη Κούτρα, αποδεικνύοντας την ορθή συνεπαγωγή της πρότασης.

: 25-01-2017 Γεωμετρία.jpg (50.12 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

Από το Θεώρημα Κούτρα, είναι $\displaystyle MN \bot M'N' \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{b} = \frac{{OB}}{{OA}}\;\;\; \vee \frac{{a'}}{{b'}} = \frac{{OB'}}{{OA'}}} \right) \Leftrightarrow \left( {a = b \cdot \frac{{OB}}{{OA}}\;\; \vee a' = b' \cdot \frac{{OB'}}{{OA'}}} \right)$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{a\cdot a' + b\cdot b'}}{{a\cdot b' + a'\cdot b}} = \frac{{bb'\left( {\frac{{OB}}{{OA}} \cdot \frac{{OB'}}{{OA'}} + 1} \right)}}{{bb'\left( {\frac{{OB}}{{OA}} + \frac{{OB'}}{{OA'}}} \right)}} = \frac{{\frac{{OB}}{{OA}} \cdot \frac{{OB'}}{{OA'}} + 1}}{{\frac{{OB}}{{OA}} + \frac{{OB'}}{{OA'}}}} = \frac{{OB \cdot OB' + OA \cdot OA'}}{{OB \cdot OA' + OB' \cdot OA}}$ .

Είναι $\displaystyle \mathop {OB}\limits^ \to \cdot \mathop {OB'}\limits^ \to = {\rm O}{\rm B} \cdot {\rm O}{\rm B}',\;\;\mathop {OA}\limits^ \to \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to = {\rm O}{\rm A} \cdot {\rm O}{\rm A}'$

και $\displaystyle \mathop {OB}\limits^ \to \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to = {\rm O}{\rm B} \cdot {\rm O}{\rm A}'\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\;\mathop {OB'}\limits^ \to \cdot \mathop {OA}\limits^ \to = {\rm O}{\rm B}' \cdot {\rm O}{\rm A}\sigma \upsilon \nu \varphi$ ,

οπότε $\displaystyle \frac{{a\cdot a' + b\cdot b'}}{{a\cdot b' + a'\cdot b}} = \frac{{\mathop {OB}\limits^ \to \cdot \mathop {OB'}\limits^ \to + \mathop {OA}\limits^ \to \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to }}{{\mathop {OB}\limits^ \to \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to + \mathop {OB'}\limits^ \to \cdot \mathop {OA}\limits^ \to }} \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi$ .

Έστω $\displaystyle {\rm A}\left( {t,\;t\;\sigma \upsilon \nu \varphi } \right),\;\;{\rm A}'\left( {t',\;t'\;\sigma \upsilon \nu \varphi } \right),\;\;{\rm B}\left( {m,\;0} \right),\;\;B'\left( {m',\;0} \right)$ .

Αφού $\displaystyle AB \bot A'B'$ είναι $\displaystyle \mathop {AB}\limits^ \to \cdot \mathop {A'B'}\limits^ \to = 0 \Leftrightarrow \left( {m - t, - t\sigma \upsilon \nu \varphi } \right)\left( {m' - t', - t'\sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle mm' - mt' - m't + tt'\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{mm' + tt'\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)}}{{mt' + m't}} = 1$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{a\cdot a' + b\cdot b'}}{{a\cdot b' + a'\cdot b}} = \frac{{mm' + tt'\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)}}{{mt' + m't}} \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi = \sigma \upsilon \nu \varphi$ .

#4

Στην προσπάθεια λύσης με ισοδυναμίες, ακολούθησα τα παρακάτω βήματα:

Είναι $\displaystyle \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {a'}\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to = \left| {\mathop a\limits^ \to } \right| \cdot \left| {\mathop {a'}\limits^ \to } \right| + \left| {\mathop b\limits^ \to } \right| \cdot \left| {\mathop {b'}\limits^ \to } \right| = aa' + bb'$ .

και $\displaystyle \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to + \mathop {a'}\limits^ \to \cdot \mathop b\limits^ \to = \left| {\mathop a\limits^ \to } \right| \cdot \left| {\mathop {b'}\limits^ \to } \right|\cos \varphi + \left| {\mathop {a'}\limits^ \to } \right| \cdot \left| {\mathop b\limits^ \to } \right|\cos \varphi = \left( {ab' + a'b} \right)\cos \varphi$

$\displaystyle \Leftrightarrow ab' + a'b = \frac{{\mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to + \mathop {a'}\limits^ \to \cdot \mathop b\limits^ \to }}{{\cos \varphi }}$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{aa' + bb'}}{{ab' + a'b}} = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{{\mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {a'}\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to }}{{\mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to + \mathop {a'}\limits^ \to \cdot \mathop b\limits^ \to }} \cdot \cos \varphi = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{{\mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {a'}\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to }}{{\mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to + \mathop {a'}\limits^ \to \cdot \mathop b\limits^ \to }} = 1$

$\displaystyle \Leftrightarrow \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {a'}\limits^ \to - \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to = \mathop {a'}\limits^ \to \cdot \mathop b\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to \cdot \mathop {b'}\limits^ \to \Leftrightarrow \mathop a\limits^ \to \cdot \left( {\mathop {a'}\limits^ \to - \mathop {b'}\limits^ \to } \right) = \mathop b\limits^ \to \cdot \left( {\mathop {a'}\limits^ \to - \mathop {b'}\limits^ \to } \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to } \right) \cdot \left( {\mathop {a'}\limits^ \to - \mathop {b'}\limits^ \to } \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to \bot \mathop {a'}\limits^ \to - \mathop {b'}\limits^ \to$ .

: 25-01-2017 Γεωμετρία b.jpg (47.59 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Καταλήγω λοιπόν στην καθετότητα των διανυσμάτων $\displaystyle \vec u = \vec a - \vec b$ και $\displaystyle \vec v = \vec a' - \vec b'$ . Δεν έχω δει πώς θα μεταβούμε στην καθετότητα των MN, M'N'

.

Αναρτώ τη δουλειά που έχω κάνει, αφήνοντας το μετέωρο, ώστε αν κάποιος βλέπει αυτό που δεν διακρίνω να το συνεχίσει...

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω $\varphi$ η οξεία γωνία δύο μη καθέτων τεμνομένων ευθειών $\left( a \right),\left( b \right)$ και ας είναι και τα μήκη των ορθών προβολών δύο τμημάτων του επιπέδου των ευθειών στις $\left( a \right),\left( b \right)$ αντίστοιχα. Να δειχθεί η ισοδυναμία : $\boxed{MN \bot M'N' \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{a \cdot b' + a' \cdot b}}}$

Στάθης

Ας δούμε μια λιτή προσέγγιση της παραπάνω πρότασης με ένα πάντρεμα Ευκλείδειας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.

$\bullet$ Θεωρούμε σημεία επί των $\left( a \right),\left( b \right)$ όπως φαίνεται στο σχήμα ώστε: $\left( OP \right)=a,\left( OQ \right)=b,\left( OL \right)={a}',\left( OK \right)={b}'$ .
[attachment=0]Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png[/attachment]
$\bullet$ Σύμφωνα με το Stathis Koutras' Theorem (στη στοιχειώδη του μορφή) θα είναι: $MN \bot QP$ και $M'N' \bot LK$ οπότε από

$MN \bot M'N' \Leftrightarrow \overrightarrow {QP} \bot \overrightarrow {LK} \Leftrightarrow$ $\left( {\overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OQ} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {OK} - \overrightarrow {OL} } \right) = 0 \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {OK} - \overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {OL} - \overrightarrow {OQ} \cdot \overrightarrow {OK} + \overrightarrow {OQ} \cdot \overrightarrow {OL} = 0$

$\mathop \Leftrightarrow \limits^{\overrightarrow {OP} \uparrow \downarrow \overrightarrow {OL} ,\overrightarrow {OQ} \uparrow \downarrow \overrightarrow {OK} } \left| {\overrightarrow {OP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OK} } \right| \cdot \cos \left( {\pi - \varphi } \right) +$ $\left| {\overrightarrow {OP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OL} } \right| + \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OK} } \right| + \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OL} } \right| \cdot \cos \left( {\pi - \varphi } \right) = 0$

$\Leftrightarrow - ab'\cos \varphi + aa' + bb' - a'b\cos \varphi = 0$ $\Leftrightarrow \ldots \boxed{\cos \varphi = \frac{{aa' + bb'}}{{ab' + a'b}}}$ και το κριτήριο καθετότητας έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Η παραπάνω απόδειξη αφιερώνεται με όλη μου την εκτίμηση στον φίλο Γιώργο Ρίζο και απλά θέλω να εξάρω το ήθος του ανδρός!

Al.Koutsouridis · #6

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Καταλήγω λοιπόν στην καθετότητα των διανυσμάτων $\displaystyle \vec u = \vec a - \vec b$ και $\displaystyle \vec v = \vec a' - \vec b'$ . Δεν έχω δει πώς θα μεταβούμε στην καθετότητα των .

Αναρτώ τη δουλειά που έχω κάνει, αφήνοντας το μετέωρο, ώστε αν κάποιος βλέπει αυτό που δεν διακρίνω να το συνεχίσει...

Καλησπέρα,

Μια προσπάθεια συνέχισης από το παραπάνω σημείο.

: kritirio_kathetotitas.png (50.79 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να κάνουμε παράλληλη μεταφορά των τμημάτων MN , M{'}N{'}

ώστε να έχουν ως αρχή το σημείο

. Έστω οι μεταφορές $MN \rightarrow OQ$ και $M{'}N{'} \rightarrow OQ$ . Επίσης χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι b = b{'}

. Τότε οι προβολές των OP,OQ

στη μια πλευρά της γωνίας θα ταυτίζονται και έστω

αυτή προβολή. Οι αντίστοιχες προβολές στην άλλη πλευρά της γωνίας ας είναι OA, OA{'}

Ο κ.Ρίζος παραπάνω απέδειξε την καθετότητα των διανυσμάτων $\displaystyle \vec u = \vec a - \vec b$ και $\displaystyle \vec v = \vec a' - \vec b'$ . Το οποίο μεταφράζεται στην καθετότητα των BA, BA{'}

.

Παρατηρούμε ότι τα τετράπλευρα OA{'}BQ

και

είναι εγγράψιμα οπότε έχουμε $\angle OPB = \angle OAB$ και $\angle OQP = \angle AA{'}B$ .

Άρα θα είναι

$\angle OPB +\angle OQP = \angle OAB +\angle AA{'}B = 90^{0} \Rightarrow \angle POQ = 90^{0} \Rightarrow$

$MN \perp M{'}N{'}$

#7

Και οι διεθνείς επιτυχίες συνεχίζονται για θεματοδότες και λύτες

http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... ras2.shtml

Στάθης σε δαιμονιώδη φόρμα!

Φιλικά , Νίκος

Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Μέλη σε σύνδεση