Κριτήριο καθετότητας ευθειών

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4089
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιαν 21, 2017 6:12 pm

Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png
Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png (29.88 KiB) Προβλήθηκε 1155 φορές
Έστω \varphi η οξεία γωνία δύο μη καθέτων τεμνομένων ευθειών \left( a \right),\left( b \right) και ας είναι a,{a}' και b,{b}' τα μήκη των ορθών προβολών δύο τμημάτων

MN,{M}'{N}' του επιπέδου των ευθειών στις \left( a \right),\left( b \right) αντίστοιχα. Να δειχθεί η ισοδυναμία : \boxed{MN \bot M'N' \Leftrightarrow \cos \varphi  = \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{a \cdot b' + a' \cdot b}}}


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 21, 2017 7:22 pm

Στάθη καλησπέρα.

Δίνω μια λύση για το ορθό της πρότασής σου, ΔΙΧΩΣ να χρησιμοποιήσω το Θεώρημα Κούτρα.

Θα αναζητήσω και λύση, μέσω του Θεωρήματός σου, που να περιέχει και το αντίστροφο.
21-01-2017 Γεωμετρία.jpg
21-01-2017 Γεωμετρία.jpg (24.35 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές
Έστω \displaystyle MN \bot M'N' .
Ονομάζω τις γωνίες στο σχήμα.

Τότε \displaystyle b = MN\cos t,\;\;a = MN\sin \omega ,\;\;b' = M'N'\sin t,\;\;a' = M'N'\cos \omega

Οπότε \displaystyle \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{a \cdot b' + a' \cdot b}} = \frac{{\sin \omega  \cdot \cos \omega  + \sin t \cdot \cos t}}{{\sin \omega  \cdot \sin t + \cos \omega  \cdot \cos t}}=

\displaystyle  = \frac{{2\sin \omega  \cdot \cos \omega  + 2\sin t \cdot \cos t}}{{2\left( {\sin \omega  \cdot \sin t + \cos \omega  \cdot \cos t} \right)}} = \frac{{\sin 2\omega  + \sin 2t}}{{2\cos \left( {t - \omega } \right)}} =

\displaystyle  = \frac{{2\sin \left( {\omega  + t} \right) \cdot \cos \left( {\omega  - t} \right)}}{{2\cos \left( {\omega  - t} \right)}} = \sin \left( {\omega  + t} \right) = \sin \left( {90^\circ  - \varphi } \right) = cos\varphi , αφού είναι \displaystyle \omega  + t = 90^\circ  - \varphi .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιαν 25, 2017 9:21 am

Καλημέρα σε όλους. Δίνω ακόμα μια προσέγγιση, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Στάθη Κούτρα, αποδεικνύοντας την ορθή συνεπαγωγή της πρότασης.
25-01-2017 Γεωμετρία.jpg
25-01-2017 Γεωμετρία.jpg (50.12 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές
Από το Θεώρημα Κούτρα, είναι \displaystyle MN \bot M'N' \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{b} = \frac{{OB}}{{OA}}\;\;\; \vee \frac{{a'}}{{b'}} = \frac{{OB'}}{{OA'}}} \right) \Leftrightarrow \left( {a = b \cdot \frac{{OB}}{{OA}}\;\; \vee a' = b' \cdot \frac{{OB'}}{{OA'}}} \right)

\displaystyle  \Rightarrow \frac{{a\cdot a' + b\cdot b'}}{{a\cdot b' + a'\cdot b}} = \frac{{bb'\left( {\frac{{OB}}{{OA}} \cdot \frac{{OB'}}{{OA'}} + 1} \right)}}{{bb'\left( {\frac{{OB}}{{OA}} + \frac{{OB'}}{{OA'}}} \right)}} = \frac{{\frac{{OB}}{{OA}} \cdot \frac{{OB'}}{{OA'}} + 1}}{{\frac{{OB}}{{OA}} + \frac{{OB'}}{{OA'}}}} = \frac{{OB \cdot OB' + OA \cdot OA'}}{{OB \cdot OA' + OB' \cdot OA}} .

Είναι \displaystyle \mathop {OB}\limits^ \to   \cdot \mathop {OB'}\limits^ \to   = {\rm O}{\rm B} \cdot {\rm O}{\rm B}',\;\;\mathop {OA}\limits^ \to   \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to   = {\rm O}{\rm A} \cdot {\rm O}{\rm A}'

και \displaystyle \mathop {OB}\limits^ \to   \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to   = {\rm O}{\rm B} \cdot {\rm O}{\rm A}'\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\;\mathop {OB'}\limits^ \to   \cdot \mathop {OA}\limits^ \to   = {\rm O}{\rm B}' \cdot {\rm O}{\rm A}\sigma \upsilon \nu \varphi ,

οπότε \displaystyle \frac{{a\cdot a' + b\cdot b'}}{{a\cdot b' + a'\cdot b}} = \frac{{\mathop {OB}\limits^ \to   \cdot \mathop {OB'}\limits^ \to   + \mathop {OA}\limits^ \to   \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to  }}{{\mathop {OB}\limits^ \to   \cdot \mathop {OA'}\limits^ \to   + \mathop {OB'}\limits^ \to   \cdot \mathop {OA}\limits^ \to  }} \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi .

Έστω \displaystyle {\rm A}\left( {t,\;t\;\sigma \upsilon \nu \varphi } \right),\;\;{\rm A}'\left( {t',\;t'\;\sigma \upsilon \nu \varphi } \right),\;\;{\rm B}\left( {m,\;0} \right),\;\;B'\left( {m',\;0} \right) .

Αφού \displaystyle AB \bot A'B' είναι \displaystyle \mathop {AB}\limits^ \to   \cdot \mathop {A'B'}\limits^ \to   = 0 \Leftrightarrow \left( {m - t, - t\sigma \upsilon \nu \varphi } \right)\left( {m' - t', - t'\sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = 0 \Leftrightarrow

\displaystyle  mm' - mt' - m't + tt'\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = 0 \Leftrightarrow  \frac{{mm' + tt'\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)}}{{mt' + m't}} = 1 .

Οπότε \displaystyle \frac{{a\cdot a' + b\cdot b'}}{{a\cdot b' + a'\cdot b}} = \frac{{mm' + tt'\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)}}{{mt' + m't}} \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi  = \sigma \upsilon \nu \varphi .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιαν 25, 2017 9:42 am

Στην προσπάθεια λύσης με ισοδυναμίες, ακολούθησα τα παρακάτω βήματα:

Είναι \displaystyle \mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {a'}\limits^ \to   + \mathop b\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   = \left| {\mathop a\limits^ \to  } \right| \cdot \left| {\mathop {a'}\limits^ \to  } \right| + \left| {\mathop b\limits^ \to  } \right| \cdot \left| {\mathop {b'}\limits^ \to  } \right| = aa' + bb' .

και \displaystyle \mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   + \mathop {a'}\limits^ \to   \cdot \mathop b\limits^ \to   = \left| {\mathop a\limits^ \to  } \right| \cdot \left| {\mathop {b'}\limits^ \to  } \right|\cos \varphi  + \left| {\mathop {a'}\limits^ \to  } \right| \cdot \left| {\mathop b\limits^ \to  } \right|\cos \varphi  = \left( {ab' + a'b} \right)\cos \varphi

\displaystyle \Leftrightarrow ab' + a'b = \frac{{\mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   + \mathop {a'}\limits^ \to   \cdot \mathop b\limits^ \to  }}{{\cos \varphi }} .

Οπότε \displaystyle \frac{{aa' + bb'}}{{ab' + a'b}} = \cos \varphi  \Leftrightarrow \frac{{\mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {a'}\limits^ \to   + \mathop b\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to  }}{{\mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   + \mathop {a'}\limits^ \to   \cdot \mathop b\limits^ \to  }} \cdot \cos \varphi  = \cos \varphi  \Leftrightarrow \frac{{\mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {a'}\limits^ \to   + \mathop b\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to  }}{{\mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   + \mathop {a'}\limits^ \to   \cdot \mathop b\limits^ \to  }} = 1

\displaystyle  \Leftrightarrow \mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {a'}\limits^ \to   - \mathop a\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   = \mathop {a'}\limits^ \to   \cdot \mathop b\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to   \cdot \mathop {b'}\limits^ \to   \Leftrightarrow \mathop a\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop {a'}\limits^ \to   - \mathop {b'}\limits^ \to  } \right) = \mathop b\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop {a'}\limits^ \to   - \mathop {b'}\limits^ \to  } \right) \Leftrightarrow

\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {\mathop a\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to  } \right) \cdot \left( {\mathop {a'}\limits^ \to   - \mathop {b'}\limits^ \to  } \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop a\limits^ \to   - \mathop b\limits^ \to   \bot \mathop {a'}\limits^ \to   - \mathop {b'}\limits^ \to .
25-01-2017 Γεωμετρία b.jpg
25-01-2017 Γεωμετρία b.jpg (47.59 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές
Καταλήγω λοιπόν στην καθετότητα των διανυσμάτων \displaystyle \vec u = \vec a - \vec b και \displaystyle \vec v = \vec a' - \vec b'. Δεν έχω δει πώς θα μεταβούμε στην καθετότητα των MN, M'N'.

Αναρτώ τη δουλειά που έχω κάνει, αφήνοντας το μετέωρο, ώστε αν κάποιος βλέπει αυτό που δεν διακρίνω να το συνεχίσει...


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4089
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Ιαν 25, 2017 9:53 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω \varphi η οξεία γωνία δύο μη καθέτων τεμνομένων ευθειών \left( a \right),\left( b \right) και ας είναι a,{a}' και b,{b}' τα μήκη των ορθών προβολών δύο τμημάτων MN,{M}'{N}' του επιπέδου των ευθειών στις \left( a \right),\left( b \right) αντίστοιχα. Να δειχθεί η ισοδυναμία : \boxed{MN \bot M'N' \Leftrightarrow \cos \varphi  = \frac{{a \cdot a' + b \cdot b'}}{{a \cdot b' + a' \cdot b}}}

Στάθης
Ας δούμε μια λιτή προσέγγιση της παραπάνω πρότασης με ένα πάντρεμα Ευκλείδειας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.

\bullet Θεωρούμε σημεία K,L,P,Q επί των \left( a \right),\left( b \right) όπως φαίνεται στο σχήμα ώστε: \left( OP \right)=a,\left( OQ \right)=b,\left( OL \right)={a}',\left( OK \right)={b}' .
[attachment=0]Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png[/attachment]
\bulletΣύμφωνα με το
Stathis Koutras' Theorem (στη στοιχειώδη του μορφή) θα είναι: MN \bot QP και M'N' \bot LK οπότε από

MN \bot M'N' \Leftrightarrow \overrightarrow {QP}  \bot \overrightarrow {LK}  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OP}  - \overrightarrow {OQ} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {OK}  - \overrightarrow {OL} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OP}  \cdot \overrightarrow {OK}  - \overrightarrow {OP}  \cdot \overrightarrow {OL}  - \overrightarrow {OQ}  \cdot \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {OQ}  \cdot \overrightarrow {OL}  = 0

\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\overrightarrow {OP}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {OL} ,\overrightarrow {OQ}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {OK} } \left| {\overrightarrow {OP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OK} } \right| \cdot \cos \left( {\pi  - \varphi } \right) + \left| {\overrightarrow {OP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OL} } \right| + \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OK} } \right| + \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OL} } \right| \cdot \cos \left( {\pi  - \varphi } \right) = 0

\Leftrightarrow  - ab'\cos \varphi  + aa' + bb' - a'b\cos \varphi  = 0 \Leftrightarrow  \ldots \boxed{\cos \varphi  = \frac{{aa' + bb'}}{{ab' + a'b}}} και το κριτήριο καθετότητας έχει αποδειχθεί.


Στάθης

Υ.Σ. Η παραπάνω απόδειξη αφιερώνεται με όλη μου την εκτίμηση στον φίλο Γιώργο Ρίζο και απλά θέλω να εξάρω το ήθος του ανδρός!
Συνημμένα
Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png
Κριτήριο καθετότητας ευθειών.png (44.69 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιαν 26, 2017 12:08 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Καταλήγω λοιπόν στην καθετότητα των διανυσμάτων \displaystyle \vec u = \vec a - \vec b και \displaystyle \vec v = \vec a' - \vec b'. Δεν έχω δει πώς θα μεταβούμε στην καθετότητα των MN, M'N'.

Αναρτώ τη δουλειά που έχω κάνει, αφήνοντας το μετέωρο, ώστε αν κάποιος βλέπει αυτό που δεν διακρίνω να το συνεχίσει...
Καλησπέρα,

Μια προσπάθεια συνέχισης από το παραπάνω σημείο.
kritirio_kathetotitas.png
kritirio_kathetotitas.png (50.79 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές
Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να κάνουμε παράλληλη μεταφορά των τμημάτων MN , M{'}N{'} ώστε να έχουν ως αρχή το σημείο O. Έστω οι μεταφορές MN \rightarrow OQ και M{'}N{'} \rightarrow OQ. Επίσης χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι b = b{'}. Τότε οι προβολές των OP,OQ στη μια πλευρά της γωνίας θα ταυτίζονται και έστω OB αυτή προβολή. Οι αντίστοιχες προβολές στην άλλη πλευρά της γωνίας ας είναι OA, OA{'}

Ο κ.Ρίζος παραπάνω απέδειξε την καθετότητα των διανυσμάτων \displaystyle \vec u = \vec a - \vec b και \displaystyle \vec v = \vec a' - \vec b'. Το οποίο μεταφράζεται στην καθετότητα των BA, BA{'}.

Παρατηρούμε ότι τα τετράπλευρα OA{'}BQ και OAPB είναι εγγράψιμα οπότε έχουμε \angle OPB = \angle OAB και \angle OQP = \angle AA{'}B.

Άρα θα είναι

\angle OPB +\angle OQP = \angle OAB +\angle AA{'}B = 90^{0} \Rightarrow \angle POQ = 90^{0} \Rightarrow

MN \perp M{'}N{'}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7798
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κριτήριο καθετότητας ευθειών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 27, 2017 11:00 am

Και οι διεθνείς επιτυχίες συνεχίζονται για θεματοδότες και λύτες


http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... ras2.shtml

Στάθης σε δαιμονιώδη φόρμα!


Φιλικά , Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης