Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία
Δίνεται τρίγωνο και τυχόν σημείο στο εσωτερικό του . Οι εκ του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις εκ των παράλληλες ευθείες προς τυχούσα διεύθυνση του επιπέδου του τριγώνου στα σημεία αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και μάλιστα η ευθεία είναι παράλληλη προς την .
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι η τυχούσα ευθεία της εκφώνησης, περνάει από την κορυφή του δοσμένου τριγώνου
Έστω το σημείο και ας είναι το σημείο επί της ώστε να είναι
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι
Δια του σημείου φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω
Ορίζουμε το σημείο ως το σημείο τομής της ευθείας από την ευθεία και αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Από
Από
Τα τρίγωνα είναι όμοια, λόγω και και και επομένως, ισχύει
Από
Από σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. (*)
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι το σημείο έστω τομής της ευθείας από την ευθεία ανήκει στην ευθεία και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με και έστω δύο σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι και Οι δια των σημείων παράλληλες ευθείες προς τις βάσεις του τραπεζίου, τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι
(*) Μία άμεση τεκμηρίωση ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, προκύπτει από το ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques ( θεωρώντας ότι τα σημεία τομής των παράλληλων ευθειών των ομολόγων πλευρών τους, ανήκουν στην ίδια ευθεία σε άπειρη απόσταση ) και άρα, η ευθεία που συνδέει τις ομόλογες κορυφές τους περνάει από το σημείο ( = κέντρο προοπτικότητας των ως άνω τριγώνων ).
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.
Έστω το σημείο και ας είναι το σημείο επί της ώστε να είναι
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι
Δια του σημείου φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω
Ορίζουμε το σημείο ως το σημείο τομής της ευθείας από την ευθεία και αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Από
Από
Τα τρίγωνα είναι όμοια, λόγω και και και επομένως, ισχύει
Από
Από σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. (*)
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι το σημείο έστω τομής της ευθείας από την ευθεία ανήκει στην ευθεία και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με και έστω δύο σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι και Οι δια των σημείων παράλληλες ευθείες προς τις βάσεις του τραπεζίου, τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι
(*) Μία άμεση τεκμηρίωση ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, προκύπτει από το ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques ( θεωρώντας ότι τα σημεία τομής των παράλληλων ευθειών των ομολόγων πλευρών τους, ανήκουν στην ίδια ευθεία σε άπειρη απόσταση ) και άρα, η ευθεία που συνδέει τις ομόλογες κορυφές τους περνάει από το σημείο ( = κέντρο προοπτικότητας των ως άνω τριγώνων ).
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία
Δια του σημείου φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις οι οποίες τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως.vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με και έστω δύο σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι και Οι δια των σημείων παράλληλες ευθείες προς τις βάσεις του τραπεζίου, τέμνουν τις στα σημεία αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι
Από και
Στο τραπέζιο σύμφωνα με γνωστό αποτέλεσμα που έχουμε ξαναδεί στο , το σημείο κείται επί τη
Στο παραλληλόγραμμο τώρα, συμπεραίνεται ότι και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες