Συνευθειακά από επαφή και τομές

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7535
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Συνευθειακά από επαφή και τομές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 02, 2017 11:25 am

Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png
Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 1262 φορές
Δύο ίσοι κύκλου ({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2}) τέμνονται στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο (K) που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο T του ({C_1}) και εσωτερικά σε σημείο S του ({C_2}).

2. Αν η BS τέμνει τον κύκλο (K) στο P, δείξετε ότι τα σημεία

A\,,\,\,T\,,\,\,P ανήκουν στην ίδια ευθεία.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4050
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Αύγ 02, 2017 9:08 pm

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου ({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2}) τέμνονται στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο (K) που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο T του ({C_1}) και εσωτερικά σε σημείο S του ({C_2}).

2. Αν η BS τέμνει τον κύκλο (K) στο P, δείξετε ότι τα σημεία

A\,,\,\,T\,,\,\,P ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Ενδιαφέρον Θέμα Νίκο , αλλά νομίζω ότι είναι πολυ βαρύς ο φάκελος για το θέμα αυτό. Θα μπορούσε να βρίσκεται άνετα στην Β Λυκείου, η κατασκευή μάλιστα (του 1ου ερωτήματος) είναι ίδια και στην περίπτωση που οι αρχικοί κύκλοι δεν είναι ίσοι

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Αύγ 02, 2017 10:27 pm

Όντως, ωραίο πρόβλημα, αλλά για την κατασκευή του κύκλου (K) ( με ίσους τους δοσμένους κύκλους ) και την απόδειξη της συνευθειακότητας των B,\ P,\ S, σχεδόν μονόδρομος.

Θα στοιχημάτιζα ότι αν πέντε λύτες, ανεξάρτητα ο καθένας, στείλουν τις λύσεις τους με προσωπικό μήνυμα στον θεματοδότη, αυτές θα είναι ίδιες.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ίσως μία ιδέα θα ήταν να υπάρχει μία χρονική καθυστέρηση ( κατά το "ανθρωπίνως" δυνατόν ) στην ανάρτηση της πρώτης λύσης από τους "συνήθεις υπόπτους", ώστε να δίνεται η ευκαιρία να προηγηθούν, τα νεότερα και ιδιαίτερα τα νεαρής ηλικίας μέλη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 03, 2017 9:47 am

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου ({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2}) τέμνονται στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο (K) που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο T του ({C_1}) και εσωτερικά σε σημείο S του ({C_2}).
Καλημέρα σε όλους!

Για την κατασκευή.
Συνευθειακά από επαφή και τομές.png
Συνευθειακά από επαφή και τομές.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές
Κατασκευή: Έστω O, K τα κέντρα των (C_1), (C_2) αντίστοιχα, S ένα σημείο του κύκλου (C_2) και K' το συμμετρικό του K ως προς S.

Η μεσοκάθετη του OK' τέμνει την KK' στο L. Ο κύκλος (L, LS) είναι ο ζητούμενος.

Απόδειξη: Έστω T το σημείο τομής της OL με τον κύκλο (C_1). Από κατασκευής ο κύκλος (L, LS) εφάπτεται εσωτερικά στον

(C_2) στο S. Αρκεί να δείξω ότι εφάπτεται εξωτερικά στον (C_1) στο T. Λόγω της μεσοκαθέτου είναι LO=LK' κι επειδή είναι

OT=SK'=R, θα είναι και \boxed{LS=LT}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 03, 2017 2:59 pm

Άλλη μία κατασκευή.
Συνευθειακά από επαφή και τομές.II.png
Συνευθειακά από επαφή και τομές.II.png (63.84 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές
Έστω S σημείο του (C_2) και M το μέσο του AB. Η MS τέμνει τον (C_1) στο T και η OT την KS στο L.

Ο κύκλος (L, LS) είναι ο ζητούμενος.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4050
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Αύγ 03, 2017 3:28 pm

Doloros έγραψε:Δύο ίσοι κύκλου ({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2}) τέμνονται στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.
1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο (K) που να εφάπτεται εξωτερικά σε σημείο T του ({C_1}) και εσωτερικά σε σημείο S του ({C_2}).
2. Αν η BS τέμνει τον κύκλο (K) στο P, δείξετε ότι τα σημεία A\,,\,\,T\,,\,\,P ανήκουν στην ίδια ευθεία.
1) Από τυχόν σημείο Q της ευθείας AB (ριζικός άξονας των \left( {{K}_{1}} \right),\left( {{K}_{2}} \right) ) , με Q εξωτερικό του τμήματος AB φέρνουμε τις εφαπτόμενες των \left( {{K}_{1}} \right),\left( {{K}_{2}} \right) προς το ίδιο μέρος της AB και ας είναι T,S τα σημεία επαφής αντίστοιχα. Τότε το K\equiv {{K}_{1}}T\cap {{K}_{2}}S είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου , αφού με QT = QS = \sqrt {QB \cdot QA} και KT \bot QT,KS \bot QS \Rightarrow KT = KS (τα ορθογώνια τρίγωνα \vartriangle QKT,\vartriangle QKS είναι προφανώς ίσα) και ο \left( K,KT=KS \right) εφάπτεται στους κύκλους \left( {{K}_{1}} \right),\left( {{K}_{2}} \right) (εξωτερικά και εσωτερικά αντίστοιχα) αφού τα σημεία «επαφής» βρίσκονται επί της διακέντρου τους.
[attachment=0]Συνευθειακά από επαφή και τομές.png[/attachment]
2) Τα ισοσκελή τρίγωνα \vartriangle KPS,\vartriangle {{K}_{2}}BS «μοιράζονται» τη γωνία \angle S και συνεπώς είναι όμοια, άρα \angle SPK = \angle SB{K_2} \Rightarrow \boxed{PK\parallel B{K_2}}:\left( 1 \right). Αλλά \boxed{A{K_1}\parallel B{K_2}}:\left( 2 \right) (αφού A{{K}_{1}}B{{K}_{2}} ρόμβος (γνωστή πρόταση σχολικού σε ίσους τεμνόμενους κύκλους)).

Από \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{A{K_1}\parallel PK}:\left( 3 \right)\Rightarrow \dfrac{{KP}}{{{K_1}A}} = \dfrac{{{R_K}}}{{{R_{{K_1}}}}} = \dfrac{{KT}}{{{K_1}T}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)\,\,\& \,\,K,T,{K_1}\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } A,T,P συνευθειακά και όλα τα ζητούμενα έχουν κατασκευαστεί και αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Συνευθειακά από επαφή και τομές.png
Συνευθειακά από επαφή και τομές.png (33.9 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 03, 2017 5:03 pm

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου ({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2}) τέμνονται στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.

2. Αν η BS τέμνει τον κύκλο (K) στο P, δείξετε ότι τα σημεία

A\,,\,\,T\,,\,\,P ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Για το 2) ερώτημα, παρόμοια με του Στάθη.
Συνευθειακά από επαφή και τομές.III.png
Συνευθειακά από επαφή και τομές.III.png (26.64 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές
\displaystyle{OA||LP \Leftrightarrow \omega  = \varphi }. Αλλά τα τρίγωνα OAT, LPT είναι ισοσκελή, οπότε A\widehat TO=P\widehat TL κι επειδή τα O, T, L είναι

συνευθειακά και τα A, T, P θα είναι συνευθειακά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1906
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Αύγ 05, 2017 6:02 pm

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου ({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2}) τέμνονται στα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B.

1.Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο (K) που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο T του ({C_1}) και εσωτερικά σε σημείο S του ({C_2}).

2. Αν η BS τέμνει τον κύκλο (K) στο P, δείξετε ότι τα σημεία

A\,,\,\,T\,,\,\,P ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Ας είναι \displaystyle{\left( c \right),\left( d \right)} δυο κύκλοι τεμνόμενοι στα \displaystyle{A,B},όχι υποχρεωτικά ίσοι

1.Κατασκευή

Έστω \displaystyle{Z} η τομή της εφαπτόμενης του \displaystyle{\left( c \right)} στο \displaystyle{S} και της \displaystyle{AB}

Θεωρούμε τον περίκυκλο του \displaystyle{\vartriangle KIZ} και \displaystyle{T} ένα εκ των δύο σημείων τομής του με τον \displaystyle{\left( d \right)}.

Το \displaystyle{O = KT \cap LS} είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου

Απόδειξη

Από το εγγράψιμο \displaystyle{KITZ \Rightarrow ZT \bot KT \Rightarrow ZT} εφαπτόμενη του \displaystyle{\left( d \right)} \displaystyle{ \Rightarrow T{Z^2} = ZB \cdot ZA = S{Z^2} \Rightarrow \boxed{TZ = SZ}}

κι επειδή \displaystyle{SZ} εφαπτόμενη του \displaystyle{\left( k \right)} θα είναι και \displaystyle{ZT} εφαπτόμενη του

2. Έστω \displaystyle{ST \cap \left( d \right) = E}

Είναι \displaystyle{\angle E = \angle PTS = \omega } (υπό χορδής-εφαπτόμενης),άρα \displaystyle{\boxed{EB//TP}(1)}

Λόγω του εγγράψιμου \displaystyle{AEBS} κι επειδή \displaystyle{TZ} εφαπτόμενη του \displaystyle{\left( k \right)} οι κόκκινες γωνίες \displaystyle{AEB,ESB,PTZ} είναι ίσες

Επίσης \displaystyle{TZ} εφαπτόμενη του \displaystyle{\left( d\right)} άρα και οι πράσινες γωνίες \displaystyle{ZAT,BTZ} είναι ίσες

Έτσι (\displaystyle{EB//TP}),\displaystyle{\angle EAT = \angle TBE} και λόγω ισότητας των \displaystyle{\left( d \right),\left( c \right)} τα τόξα τους \displaystyle{AEB,ATB} είναι ίσα

οπότε \displaystyle{\angle AEB = \angle ATB \Rightarrow ATBE} παραλ/μμο\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{EB//AT}(2)}

Από \displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow A,T,P} συνευθειακά
σ.α.τ.κ.ε.png
σ.α.τ.κ.ε.png (32.13 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης