Ωραία άσκηση με εγγεγραμμένο κύκλο.

[Datis-Kalali]

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και , αντίστοιχα. Αν είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του ( στον κύκλο ) και οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο να δείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Ωραία άσκηση με εγγεγραμμένο κύκλο.png (21.35 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Έστω η τομή των και .

Από γνωστό λήμμα έχουμε πως το ανήκει στην πολική του ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο.

Ακόμη το ανήκει στην πολική του ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο, δηλαδή στην , άρα και το ανήκει στην πολική του ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο.

Επομένως η πολική του είναι η .

Με άλλα λόγια .

Όμως η ευθεία ταυτίζεται με την , δηλαδή με την . Όμως .

Έπεται λοιπόν πως .

[Ορέστης Λιγνός]

Από το ισοσκελές έχουμε πως . Από το ισοσκελές είναι .

Έτσι, (1).

Ακόμη, είναι , οπότε το είναι εγγράψιμο.

Έτσι, (2).
Είναι .

Έτσι, και , οπότε το είναι το περίκεντρο του , οπότε , και αφού επίσης , έχουμε την ''αλυσίδα'' ισοτήτων :

.