Ίσα τμήματα!
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Ίσα τμήματα!
Έστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε μια εφαπτόμενη και μια τέμνουσα στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο. Έστω ότι οι τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσα τμήματα!
Παίρνοντας την τομή της δεύτερης εφαπτόμενης του με τον κύκλο βρίσκουμε ότι .Παίρνω τώρα τομή έστω και τομή .Θα αποδείξω ότι η είναι αρμονική και θα έχω τελειώσει.Με την τομή των εφαπτόμενων στα και την τομή των ,λόγω του ότι τα ανήκουν στην πολική του αρκεί να βγάλω και το συνευθειακό(θα ανήκει τότε στην πολική του ).Λόγω πολικών είναι τα συνευθειακά οπότε το ζητούμενο έπεται από Pascal στο ...Το σχήμα μαζί με διορθώσεις(ίσως) αύριο...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ίσα τμήματα!
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 17, 2017 4:05 pmΈστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε μια εφαπτόμενη και μια τέμνουσα στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο. Έστω ότι οι τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .
Ίσα τμήματα!.png
Θα θεωρήσουμε γνωστές τις παρακάτω προτάσεις. Αν σημεία του μοναδιαίου κύκλου τότε
(I) το σημείο τομής των χορδών δίνεται από τον μιγαδικό .
(II) το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία δίνεται από τον μιγαδικό .
(III) κάθε σημείο της ευθείας που ορίζουν τα ικανοποιεί την σχέση .
Εφαρμόζουμε διαδοχικά στο προβλημά μας τις παραπάνω προτάσεις, όπου χωρίς βαλαβη της γενικότητας θεωρούμε ότι, ο δοθείς κύκλος είναι ο μαναδιαίος με κέντρο την αρχή του μιγαδικού επιπέδου και τα να βρίσκονται στον πραγματικό άξονα.
Από την πρόταση (I) για το σημείο βρίσκουμε (1),
Αφού το σημείο αντιστοιχεί στον μιγαδικό .
Ομοίως για το σημείο βρίσκουμε (2).
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ή ισόδύναμα
(3).
Όμως από την πρόταση (ΙΙ) για το σημείο έχουμε (4), αφού και το σημείο είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων από το και από το συζηγές του .
Από την πρόταση (ΙΙΙ) το ικανοποιεί την σχέση και λόγω της (4) γίνεται
Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία σχέση με κατά μέλη βρίσκουμε
και εφόσον γίνεται
Δηλαδή η σχέση (3) όντως ισχύει και τα σημεία ισαπέχουν από το .
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ίσα τμήματα!
Αν το δεύτερο εφαπτομενικό τμήμα (εκτός του τότε μεσοκάθετη της .Από το αρμονικό τετράπλευρο προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Κυρ Σεπ 17, 2017 4:05 pmΈστω κύκλος με κέντρο και σημείο στο εξωτερικό του. Φέρνουμε μια εφαπτόμενη και μια τέμνουσα στον κύκλο. Έστω το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο. Έστω ότι οι τέμνουν την στα αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ίσα τμήματα!
Πολύ ωραίες όλες οι λύσεις!!
Προσωπικά είχα την λύση του κύριου Στάθη. Βέβαια το πρόβλημα μπορεί να γενικευτεί... εδώ!
Προσωπικά είχα την λύση του κύριου Στάθη. Βέβαια το πρόβλημα μπορεί να γενικευτεί... εδώ!
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες