Διέρχεται από το μέσο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Διέρχεται από το μέσο
Σε οξυγώνιο τρίγωνο θεωρούμε τα ύψη , και και έστω το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου.
Από το φέρουμε τις κάθετες στις ευθείες και ,οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι η κάθετη που άγεται από το σημείο στην ευθεία διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .
Από το φέρουμε τις κάθετες στις ευθείες και ,οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι η κάθετη που άγεται από το σημείο στην ευθεία διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διέρχεται από το μέσο
Καλησπέρα.
Είναι εύκολο να δούμε ότι η κάθετος από το προς την είναι ισογώνια με τη ως προς τις .Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου .Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου:
Η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ,για τα οποία ισχύει ,όπου οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι .Παρατηρούμε ότι όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι τα ύψη του τριγώνου είναι διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού.Επίσης,είναι σαφές ότι .Από τα παραπάνω έπεται ότι .Με όμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι ,οπότε ,το οποίο είναι το ζητούμενο.
Είναι εύκολο να δούμε ότι η κάθετος από το προς την είναι ισογώνια με τη ως προς τις .Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου .Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου:
Η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ,για τα οποία ισχύει ,όπου οι αποστάσεις του από τις αντίστοιχα.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι .Παρατηρούμε ότι όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι τα ύψη του τριγώνου είναι διχοτόμοι των γωνιών του ορθικού.Επίσης,είναι σαφές ότι .Από τα παραπάνω έπεται ότι .Με όμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι ,οπότε ,το οποίο είναι το ζητούμενο.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες