Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Οι παράλληλες από τα προς τις αντίστοιχα, τέμνονται στο .
Αν το έγκεντρο του , δείξτε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Το πρόβλημα αφιερώνεται στον φίλο Γιώργο Βισβίκη, για την γιορτή του
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Έστω το μέσο του και το σημείο τομής των και .
Λόγω του ότι το είναι μέσο της , έχουμε πως .
Αρκεί να αποδειχθεί πως η είναι παράλληλη στη διχοτόμο της .
Έστω πως η και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα.
Tο τετράπλευρο είναι πλήρες και έτσι το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , έστω , είναι το σημείο του τετραπλεύρου.
Έστω πως το ανήκει στη διχοτόμο της . Αν οι προβολές του στις και αντίστοιχα, τότε θα ήταν .
Όμως λόγω του ότι η ευθεία είναι η ευθεία του πλήρες τετραπλεύρου τετραπλεύρου, έχουμε πως η είναι κάθετη στην ευθεία του τετραπλεύρου, που είναι η . Άρα αυτό θα αποδείκνυε πως η είναι παράλληλη στη διχοτόμο της και το ζητούμενο θα προέκυπτε.
Ξέρουμε ταυτόχρονα πως το σημείο ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Άρα αν πράγματι το άνηκε στη διχοτόμο του , τότε θα ήταν .
Εκτελώντας νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα και προκύπτει πως οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και πρέπει να είναι ίσοι και εκτελώντας πάλι νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα και προκύπτει πως πρέπει .
Αν αποδείξουμε δηλαδή πως προκύπτει το ζητούμενο!!
Αν και προσπάθησα πολύ να αποδείξω την τελευταία ισότητα, δεν τα κατάφερα και κατέληξα σε περίπλοκες τριγωνομετρικές σχέσεις. Παρόλα αυτά πιστεύω πως η τελευταία ισότητα είναι πιο προσιτή από το αρχικό πρόβλημα.
Houston, we have a problem!
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Για να μη μείνει στη "μέση" η καταπληκτική προσπάθεια του Διονύση αλλά και επειδή η πρόταση είναι αφιερωμένη σε έναν ΑΡΙΣΤΟ ΓΕΩΜΕΤΡΗ και για να κρατήσω την υπόσχεσή μου στον Θάνο ας δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση (χωρίς τριγωνομετρία βέβαια).sakis1963 έγραψε: ↑Τρί Απρ 24, 2018 1:22 pmGEOMETRIA197=FB1794.png
Έστω τρίγωνο , το μέσον της και τα σημεία επαφής των εγκύκλων με τις αντίστοιχα. Οι παράλληλες από τα προς τις αντίστοιχα, τέμνονται στο . Αν το έγκεντρο του , δείξτε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Το πρόβλημα αφιερώνεται στον φίλο Γιώργο Βισβίκη, για την γιορτή του
Έστω το παραλληλόγραμμο και ας είναι τα σημεία τομής των με την . Από τα παραλληλόγραμμα με κοινή διαγώνιο προκύπτει ότι είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς
Από
Αν η ημιπερίμετρος του τριγώνου και η ημιπερίμετρος του τριγώνου
(με τους συνήθεις συμβολισμούς για το τρίγωνο ) τότε και
. Από και
από .
Από διχοτόμος της
και με και παραλληλόγραμμο προκύπτει ότι διχοτόμος της γωνίας του εν λόγω παραλληλογράμμου (που ταυτίζεται με τη γωνία του τριγώνου ) και συνεπώς διέρχεται από το έγκεντρο του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Ο κύκλος τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα.
Εύκολα αποδεικνύεται ( δείτε εδώ πως) ότι τα είναι τα μέσα των αντίστοιχα.
Οπότε για το τετράπλευρο , από το αντίστροφο γνωστής πρότασης, το είναι μέσον της τέταρτης πλευράς του .
Αλλά το τρίγωνο είναι ισοσκελές εκ κατασκευής και συνεπώς η εκτός από διάμεσος ειναι και διχοτόμος της γωνίας
Αφιερώνω τη λύση στο φίλο, "γίγαντα" γεωμέτρη Στάθη, που έδωσε ζόρικες λύσεις στα τελευταία 3 ζόρικα προβλήματα που έβαλα.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Καλησπέρα και ευχαριστούμε για το όμορφο αυτό πρόβλημα. Δεν πρέπει να δείξουμε ότι το ανήκει στη ώστε μετά να εφαρμόσουμε το αντίστροφο της πρότασης;
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Ισως να διατύπωσα άκομψα την χρήση του αντιστρόφου.
Εχοντας την και τα τρία μέσα , πλέον η και η .
Αν τωρα φερουμε από τo παράλληλη στις αυτή συναντά την στο μέσον της έστω ,
στο οποίο συντρέχει και η παράλληλη από το προς τις
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Ανασκευάζω λίγο το επιχείρημα της λύσης (αποφεύγω τελείως τους κύκλους και το λήμμα από το σύνδεσμο).
Έστω το συμμετρικό του ως προς το και το συμμετρικό του ως προς το .
Τότε το ανήκει στη και είναι το μέσον της, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Για το σκοπό αυτό αρκεί
που προφανώς ισχύει.
Έστω το συμμετρικό του ως προς το και το συμμετρικό του ως προς το .
Τότε το ανήκει στη και είναι το μέσον της, επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Για το σκοπό αυτό αρκεί
που προφανώς ισχύει.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Σ' ευχαριστώ Σάκη για την αφιέρωση! Πολύ ωραίο πρόβλημα (μόλις σήμερα το είδα. Μάλλον το μπέρδεψα με κάποιο άλλο), ωραίες και οι λύσεις. Αν βρω κάτι διαφορετικό, θα επανέλθω.sakis1963 έγραψε: ↑Τρί Απρ 24, 2018 1:22 pmGEOMETRIA197=FB1794.png
Εστω τρίγωνο , το μέσον της και τα σημεία επαφής των εγκύκλων με τις αντίστοιχα.
Οι παράλληλες από τα προς τις αντίστοιχα, τέμνονται στο .
Αν το έγκεντρο του , δείξτε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Το πρόβλημα αφιερώνεται στον φίλο Γιώργο Βισβίκη, για την γιορτή του
Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο
Με τις ευχαριστίες μου στον καθηγητή Alexander Bogomolny
https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... gnon.shtml
https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... gnon.shtml
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες