Συνευθειακότητα με το έγκεντρο 2

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA198=FB1802.png (50.06 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Εστω τρίγωνο ABC

και σημεία E, D

της

τέτοια ώστε $\hat{BAE}=\hat{DAC}$ .

Εστω επίσης K_1, K_2

τα έγκεντρα των τριγώνων ABE, AEC

και

τα έγκεντρα των τριγώνων ABD, ADC

.

Αν

είναι το έγκεντρο του ABC

και $P \equiv K_1 K_2 \cap L_1 L_2$ , δείξτε ότι τα σημεία A, I, P

είναι συνευθειακά.

Μπορεί να αποδειχθεί και για τυχαία σημεία E, D

της

με την διαφορά οτι το

σ'αυτή την περίπτωση, είναι το έγκεντρο του τριγώνου AED

.

#2

sakis1963 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 26, 2018 4:09 am
GEOMETRIA198=FB1802.png
Εστω τρίγωνο και σημεία της τέτοια ώστε $\hat{BAE}=\hat{DAC}$ .Εστω επίσης τα έγκεντρα των τριγώνων και τα έγκεντρα των τριγώνων .Αν είναι το έγκεντρο του και $P \equiv K_1 K_2 \cap L_1 L_2$ , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Μπορεί να αποδειχθεί και για τυχαία σημεία της με την διαφορά οτι το σ'αυτή την περίπτωση, είναι το έγκεντρο του τριγώνου .

Ας αλλάξω τα γράμματα της εκφώνησης για δική μου ευκολία στη γενίκευση που αναφέρει ο Θάνος.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle SKT$ και τυχόντα σημεία της με πλησιέστερο του και έστω τα έγκεντρα των τριγώνων $\vartriangle SKC,\vartriangle SKC',\vartriangle SCC,\vartriangle SCT,\vartriangle SC'T$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το σημείο $C'' \equiv BA' \cap B'A$ ανήκει στην .

Απόδειξη

$\bullet$ Προφανώς και είναι συνευθειακές τετράδες ( με $I \equiv KB \cap TB'$ προφανώς το έγκεντρο του τριγώνου $\vartriangle SKT$ ) , σημεία των διχοτόμων των γωνιών $\angle K,\angle T$ αντίστοιχα. Προφανώς και συνευθειακές τριάδες (σημεία των διχοτόμων των γωνιών $\angle SCC',\angle SC'C$ αντίστοιχα) δηλαδή $B'' \equiv CA' \cap C'A$

$\bullet$ Από (εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο) προκύπτει ότι οι δέσμες είναι αρμονικές (έχουν δηλαδή ίσους διπλούς λόγους) και επειδή έχουν κοινή ακτίνα $CK \equiv C'T \equiv KT$ τα σημεία τομής των τριών άλλων ακτινών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή τα $L \equiv CB \cap C'B',S \equiv CS \cap C'S,B'' \equiv CA' \cap C'A,$ είναι συνευθειακά.

$\bullet$ Είναι $\angle KSB = \dfrac{{\angle KSC}}{2} = \dfrac{{\angle KST - \angle CST}}{2}$ και $\angle ISA' = \angle IST - \angle A'ST = \dfrac{{\angle KST}}{2} - \dfrac{{\angle CST}}{2}$ , οπότε $\angle KSB = \angle ISA'$ και με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι $\angle BSA = \angle A'SB',\angle ASI = \angle B'ST$ οπότε οι δέσμες έχουν ίσες τις γωνίες των ομολόγων ακτινών τους , άρα έχουν ίσους διπλούς λόγους άρα $\left( {K,B,A,I} \right) = \left( {I,A',B',T} \right) = \left( {B',T,I,A'} \right) = \left( {T,B',A',I} \right)$ , οπότε οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο και έστω $P \equiv AA' \cap BB' \cap KT\mathop \Rightarrow \limits^{KT \equiv CC'} P \equiv AA' \cap BB' \cap CC'$

: Συνευθειακοτητα με το έγκεντρο 2.png (74.13 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

$\bullet$ Αν $A'' \equiv BC' \cap B'C,B'' \equiv AC' \cap A'C,C'' \equiv AB' \cap A'B$ , με δεδομένο ότι $P \equiv AA' \cap BB' \cap CC'$ σύμφωνα με το Desmic Theorem (Θεώρημα που οφείλεται σε Γάλλο γεωμέτρη που έκανε και χαλάστρα στονδικό μας Βήττα αφού προηγήθηκε σε δημοσίευση) θα ισχύει:

(α) – Οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(β) – Οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(γ) – Η ευθεία διέρχεται από το σημείο $P' \equiv P \equiv AA' \cap BB' \cap CC'$

$\bullet$ Με $P \equiv MN \cap BB' \cap CC'$ προκύπτει σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques ότι τα τρίγωνα $\vartriangle MBC,\vartriangle NB'C'$ είναι προοπτικά οπότε τα σημεία τομής των ομολόγων πλευρών τους θα είναι συνευθειακά, δηλαδή $B'' \equiv MB \cap NB',L \equiv BC \cap B'C',C'' \equiv CM \cap C'N$ είναι συνευθειακά.

Από τις συνευθειακότητες και προκύπτει ότι είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης.

Υ.Σ.
1. Η παραπάνω απόδειξη αφιερώνεται σε ένδειξη τιμής στον αγαπητό μου αδελφικό φίλο Κώστα Βήττα γιατί είμαι βέβαιος ότι θα την ευχαριστηθεί αφού του ταιριάζει απόλυτα.

2. Θάνο σε ευχαριστώ θερμά για την "ταλαιπωρία" που με υπέβαλες (την ευχαριστήθηκα πάρα πολύ) γιατί με έκανε να ξεχαστώ για λίγο από τα τόσα που με "κυνηγάνε" και να σου πω και δημοσίως ότι είσαι ΑΠΑΙΧΤΟΣ "συνθέτης" γεωμετρικών προβλημάτων.

Για το Desmic Theorem δείτε https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... ey#p211592 μαζί με μια απόδειξη που είχε κάνει η αφεντομουτσουνάρα μου

Στάθης

Συνευθειακότητα με το έγκεντρο 2

Συνευθειακότητα με το έγκεντρο 2

Re: Συνευθειακότητα με το έγκεντρο 2

Μέλη σε σύνδεση