Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

#1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $D',\ E',\ F'$ , τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων του $(I_{a}),\ (I_{b}),\ (I_{c})$ , στις πλευρές $BC,\ AC,\ AB$ , αντιστοίχως. $K,\ L$ , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου $(I_{a})$ στις ευθείες $AB,\ AC$ αντιστοίχως, $M,\ N$ , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου $(I_{b})$ , στις ευθείες $BC,\ AB$ αντιστοίχως και $P,\ Q$ , είναι τα σημεία επαφής του κύκλου $(I_{c})$ , στις ευθείες $AC,\ BC$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι δια των σημείων $D',\ E',\ F'$ κάθετες ευθείες επί των $KL,\ MN,\ PQ$ αντιστοίχως, τέμνονται στο ίδιο σημείο .

: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.; f185 t62165.png (37.92 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

Κώστας Βήττας.

#2

Με τις παρακάτω παραπομπές, νομίζω ότι έχουμε απλή λύση

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62382

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 85&t=62363

min## · #3

Εναλλακτικά,το ζητούμενο έπεται από τα εξής:
1)Αν δύο τρίγωνα είναι ορθολογικά και φέρουμε ομοιόθετο του δεύτερου,τότε εκείνο είναι ορθολογικό του πρώτου
2)Τα IaIbIc,D'E'F'

είναι ορθολογικά.
Το πρώτο είναι προφανές,ενώ για το δεύτερο αρκεί να θεωρήσουμε τρίγωνο XYZ

με

στον περίκυκλο του ABC

ώστε να είναι μέσα των μεγάλων τόξων BC,CA,AB

(ομοιόθετοτου IaIbIc

).
.Τότε τα E'D'CZ

και τα κυκλικά τους είναι εγγράψιμα(η τομή των IaD',IbE'

πχ. είναι το αντιδιαμετρικό του

στον αναγραφόμενο κύκλο κλπ) και με απλό κυνήγι γωνιών το

πχ. είναι στη μεσοκάθετο του D'E'

, και το ζητούμενο έπεται.Για την αρχική,το IaIbIc

είναι ομοιόθετο του τριγώνου που ορίζεται από τις μπλε γραμμές στο σχήμα του κ.Βήττα,οπότε εφαρμόζοντας τα 2 πάνω "λήμματα" το ζητούμενο έπεται..(Θα επιστρέψω ίσως αργότερα με λεπτομέρειες και σχήμα).

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

Re: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι και συντρέχεια.

Μέλη σε σύνδεση