Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Συμβολίζουμε με το περίκεντρο του τριγώνου, και με το μέσο της πλευράς . Η κάθετος της στο
τέμνει το στο σημείο , και η κάθετος της που άγεται από το , τέμνει το στο σημείο .
Να αποδείξετε ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Είναι γνωστό πως αν η ημιευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο , τότε , οπότε . Άρα αν η τέμνει την στο , τότε αφού , θα ισχύει ότι:
.
Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως .
Αν η ημιευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο και η τέμνει δεύτερη φορά τον περιγεγραμμένο κύκλο στο και η τέμνει την στο σημείο , τότε από θεώρημα πεταλούδας στο εγγράψιμο τετράπλευρο , έχουμε ότι .
Όμως αν η τέμνει την στο , έχουμε ότι αφού και , έχουμε ότι .
Άρα τελικά ισχύει ότι , άρα αρκεί να αποδειχθεί πως .
Έστω και τα σημεία που οι και τέμνουν για δεύτερη φορά τον περιγεγραμμένο κύκλο.
Ισχύει ότι και , άρα αν η τέμνει την στο , τότε .
Όμως από θεώρημα πεταλούδας στο εγγράψιμο παίρνουμε ότι , άρα τελικά .
Houston, we have a problem!
Re: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Παίρνω το σημείο στην ώστε και αρκεί να δείξω ότι κάθετες.
Παίρνω επίσης τα συμμετρικά του ως προς τα ,έστω .Το είναι τώρα το μέσο της και τα βρίσκονται στον περίκυκλο του .Θα δείξω ότι ομοκυκλικά και θα έχω τελειώσει,επειδή τότε η θα είναι κάθετη στην από το εγγράψιμο,και (γνωστή πρόταση).
Αλλάζω την εκφώνηση:Έστω τρίγωνο , τα :μέσο της ,μέσο του τόξου
περίκεντρο και έκκεντρο αντίστοιχα.Έστω η τομή της με την και το παράκεντρο.Να δειχτεί ότι ο περίκυκλος του
περνάει από το μέσο του .
Για την απόδειξη,αρκεί .Από σχέση για την αρμονική ,προκύπτει ,και το ζητούμενο πλέον είναι να δειχθεί ότι το είναι εγγράψιμο,με το μέσο της .Ειναι όμως κλπ...
Edit:Με πρόλαβαν με διαφορά-προσθέτω σχήμα(δεν μπορώ να προσθέσω το πρώτο-έτσι κι αλλιώς μοιάζει με του Διονύση)
Παίρνω επίσης τα συμμετρικά του ως προς τα ,έστω .Το είναι τώρα το μέσο της και τα βρίσκονται στον περίκυκλο του .Θα δείξω ότι ομοκυκλικά και θα έχω τελειώσει,επειδή τότε η θα είναι κάθετη στην από το εγγράψιμο,και (γνωστή πρόταση).
Αλλάζω την εκφώνηση:Έστω τρίγωνο , τα :μέσο της ,μέσο του τόξου
περίκεντρο και έκκεντρο αντίστοιχα.Έστω η τομή της με την και το παράκεντρο.Να δειχτεί ότι ο περίκυκλος του
περνάει από το μέσο του .
Για την απόδειξη,αρκεί .Από σχέση για την αρμονική ,προκύπτει ,και το ζητούμενο πλέον είναι να δειχθεί ότι το είναι εγγράψιμο,με το μέσο της .Ειναι όμως κλπ...
Edit:Με πρόλαβαν με διαφορά-προσθέτω σχήμα(δεν μπορώ να προσθέσω το πρώτο-έτσι κι αλλιώς μοιάζει με του Διονύση)
- Συνημμένα
-
- ιραν1asfas.png (34.81 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
το στο σημείο που είναι το μέσο του. Αν το αντιδιαμετρικό του , τότε είναι γνωστό
ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία, και το είναι παραλληλόγραμμο,
οπότε το είναι και το μέσο του . Στο τρίγωνο τα , είναι τα μέσα των , αντίστοιχα,
οπότε . Όμως, , οπότε .
Έστω . Στο τρίγωνο το είναι ύψος, και εφόσον (ως διάμεσοι προς τη
κοινή υποτείνουσα των ορθογώνιων τριγώνων και ), θα είναι και διάμεσος, δηλαδή, το μέσο του .
Τα σημεία , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο ().
Θα αποδείξουμε ότι και το σημείο ανήκει στον κύκλο . Γιαυτό αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Κατά πρώτον έχουμε (έχουν τις πλευρές τους κάθετες).
Στη συνέχεια, έστω ότι η ευθεία τέμνει την στο σημείο . Τότε, από το τρίγωνο
εύκολα διαπιστώνουμε ότι το είναι και μέσο του ( μέσο και ).
Επομένως, το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο του οποίου οι γωνίες είναι ίσες
με τις γωνίες του παραλληλογράμμου ( ως κατά κορυφή).
Από γνωστή ιδιότητα του ορθόκεντρου του τριγώνου έχουμε ,
οπότε τα δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, και ως εκ τούτου, οι γωνίες των διαγωνίων τους θα είναι ίσες,
δηλαδή, .
Από (1) και (2) προκύπτει ότι , δηλαδή , οπότε ,
και από το τρίγωνο ( μέσο και ) προκύπτει ότι το μέσο .
Στη συνέχεια, .
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Δευ Σεπ 17, 2018 4:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Μία άλλη λύση.
Έστω το μέσο του . Ως γνωστών, το είναι το κέντρο του κύκλου Euler του .
Έστω . Θα δείξουμε ότι το είναι το μέσο του .
Είναι και , άρα τα τρίγωνα έχουν ίσες γωνίες, άρα είναι όμοια. Αφού επίσης , τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα .
Όμως, , άρα μέσο του .
Αρκεί λοιπόν .
Αφού όμως , αρκεί , ή αλλιώς .
Παρατηρούμε ότι .
Επίσης, , άρα εγγράψιμο. Αν δείξουμε ότι και το ανήκει στον κύκλο , θα έχουμε , και θα έχουμε τελειώσει.
Αρκεί λοιπόν ομοκυκλικά, ή αλλιώς .
Είναι (1).
Φέρνουμε από το παράλληλη στην . Τότε, προκύπτει σε συνδυασμό με την (1) ότι όλες οι κόκκινες γωνίες (εκτός της ) είναι ίσες ( κόκκινη κλπ).
Όμως, από το εγγράψιμο όμοια και αφού οι είναι οι αντίστοιχες διάμεσοι τους, είναι , οπότε και η είναι ίση με τις άλλες κόκκινες, άρα τα είναι ομοκυκλικά και τελειώσαμε.
Έστω το μέσο του . Ως γνωστών, το είναι το κέντρο του κύκλου Euler του .
Έστω . Θα δείξουμε ότι το είναι το μέσο του .
Είναι και , άρα τα τρίγωνα έχουν ίσες γωνίες, άρα είναι όμοια. Αφού επίσης , τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα .
Όμως, , άρα μέσο του .
Αρκεί λοιπόν .
Αφού όμως , αρκεί , ή αλλιώς .
Παρατηρούμε ότι .
Επίσης, , άρα εγγράψιμο. Αν δείξουμε ότι και το ανήκει στον κύκλο , θα έχουμε , και θα έχουμε τελειώσει.
Αρκεί λοιπόν ομοκυκλικά, ή αλλιώς .
Είναι (1).
Φέρνουμε από το παράλληλη στην . Τότε, προκύπτει σε συνδυασμό με την (1) ότι όλες οι κόκκινες γωνίες (εκτός της ) είναι ίσες ( κόκκινη κλπ).
Όμως, από το εγγράψιμο όμοια και αφού οι είναι οι αντίστοιχες διάμεσοι τους, είναι , οπότε και η είναι ίση με τις άλλες κόκκινες, άρα τα είναι ομοκυκλικά και τελειώσαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες