Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
και έστω 
το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με την πλευρά 
. Εξετάζουμε δυο κύλους, που εφάπτονται της ευθείας , της ημιευθείας 
και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (βλέπε σχήμα). Να αποδείξετε, ότι οι ακτίνες τους είναι ίσες.
το κέντρο του αριστερού και του δεξιού κύκλου αντίστοιχα.Έστω 
οι επαφές του αριστερού με τις 
και αντίστοιχα ορισμένα τα 
.Από ομοιοθεσία,οι 
τεμνονται στο κέντρο 
του 
,ενώ οι 
στο μέσο 
του τόξου .Είναι γνωστό (Sawayama-Thebault(δεν μπορούσα να το αποφύγω)) ότι το Α παράκεντρο 
.Η πολική του 
ως προς τον 
,αφού το αντίστροφο είναι δεδομένο.Θα δείξω ότι περνάει και από το 
.Από αντίστροφη της σχέσης 
αρκεί 
,και επειδή η 
(με 
τομή 
,αρκεί το 
να βγει εγγράψιμο,το οποίο είναι άμεσο από 
κλπ.Άρα η 
είναι η πολική του , και άρα 
και το ζητούμενο έπεται...
, 
, 
, 
η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και 
, 
οι ακτίνες των εφαπτόμενων κύκλων, τότε 
. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στην εύρεση απλούστερης συνθετικής λύσης, και 'φανερώνεται' αναλυτικώς από τις εξισώσεις![\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}+r(c-b)}{2bc}\right)p-\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c0b53664f1ae350146f6f76629f39b10.png "\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}+r(c-b)}{2bc}\right)p-\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[p+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2")
![\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}-r(c-b)}{2bc}\right)q+\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/147b0ef54028ce6536a95ef3b6de9f66.png "\left[\left(\dfrac{\sqrt{r^2(c-b)^2+4b^2c^2}-r(c-b)}{2bc}\right)q+\dfrac{c-b}{2}\right]^2+\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2-(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2=\left[q+\left(\dfrac{r^2(b+c)^2+(bc-r^2)^2}{4r(bc-r^2)}\right)\right]^2")
που ήδη ανέφερα: αν , 
τα σημεία επαφής των δύο κύκλων με την βάση , τότε 
. , της προηγούμενης δημοσίευσης και τα αντίστοιχα τους των κορυφών 
, 
... κείνται επί κωνικής το κέντρο της οποίας αποτελεί νέο 'κέντρο τριγώνου': πολύ πρόσφατο αποτέλεσμα του Cesar Lozada, κάποιες λεπτομέρειες εδώ.Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης
