Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
Εάν σε ένα κυρτό εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών δύο ζευγών απέναντι πλευρών του ανήκουν στις ευθείες δύο από τις κύριες διαγώνιές του, τότε και το σημείο τομής των ευθειών του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών, ανήκει στην ευθεία της τρίτης κύριας διαγώνιας του δοσμένου εξαγώνου.
Κώστας Βήττας.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
Μια λύση με κουνήματα( ):
Σταθεροποιώ αρχικά τη δέσμη ευθειών που διέρχεται από το και παίρνω σημεία όπως στο σχήμα(σταθερά).Παίρνω ως (σταθερό) την τομή και παίρνω μεταβλητό σημείο στην
,ενώ ορίζω το ως την τομή της με την .(Με άλλα λόγια "αντιστρέφω'' την κατασκευή του σχήματος).
Τώρα,καθώς το μεταβάλλεται,ορίζει ίσους διπλούς λόγους στην με το στην ,αφού το
αποτελεί προβολή του με κέντρο .Άρα και οι (καθώς το κινείται) θα έχουν ίσους διπλούς λόγους.Όταν το πέσει στο ,θα συμπέσει και το ,οπότε οι παραπάνω δέσμες έχουν κοινή ακτίνα,δηλαδή είναι προοπτικές,δηλαδή οι τομές των κείτονται σε σταθερή ευθεία.Με απλό έλεγχο θέσης,για (δύο περιπτώσεις),η ευθεία αυτή είναι η και το ζητούμενο έπεται...
Σταθεροποιώ αρχικά τη δέσμη ευθειών που διέρχεται από το και παίρνω σημεία όπως στο σχήμα(σταθερά).Παίρνω ως (σταθερό) την τομή και παίρνω μεταβλητό σημείο στην
,ενώ ορίζω το ως την τομή της με την .(Με άλλα λόγια "αντιστρέφω'' την κατασκευή του σχήματος).
Τώρα,καθώς το μεταβάλλεται,ορίζει ίσους διπλούς λόγους στην με το στην ,αφού το
αποτελεί προβολή του με κέντρο .Άρα και οι (καθώς το κινείται) θα έχουν ίσους διπλούς λόγους.Όταν το πέσει στο ,θα συμπέσει και το ,οπότε οι παραπάνω δέσμες έχουν κοινή ακτίνα,δηλαδή είναι προοπτικές,δηλαδή οι τομές των κείτονται σε σταθερή ευθεία.Με απλό έλεγχο θέσης,για (δύο περιπτώσεις),η ευθεία αυτή είναι η και το ζητούμενο έπεται...
Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
Αυτό Κώστα, είναι το δυϊκό του Πάππου και η απόδειξη έγινε.vittasko έγραψε: ↑Τρί Οκτ 30, 2018 1:08 pmΕάν σε ένα κυρτό εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών δύο ζευγών απέναντι πλευρών του ανήκουν στις ευθείες δύο από τις κύριες διαγώνιές του, τότε και το σημείο τομής των ευθειών του τρίτου ζεύγους απέναντι πλευρών, ανήκει στην ευθεία της τρίτης κύριας διαγώνιας του δοσμένου εξαγώνου.
Κώστας Βήττας.
Επιπλέον, αν δούμε το σχήμα προσεκτικά, αποδεικνύουμε ότι: αν δύο τρίγωνα είναι διπλώς προοπτικά (εδώ ως προς σημεία), τότε είναι και τριπλώς προοπτικά.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
Έστω τα σημεία και και .
Επί των ευθειών θεωρούμε τις τριάδες των σημείων και αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Από τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά.
Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Επί των ευθειών θεωρούμε τις τριάδες των σημείων και αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Από τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά.
Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Κυρτό εξάγωνο και συντρέχειες.
Τίποτα λιγότερο!!!!vittasko έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 04, 2018 11:04 amΈστω τα σημεία και και .
Επί των ευθειών θεωρούμε τις τριάδες των σημείων και αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
f185 t62900(a).png
Από τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά.
Από την προοπτικότητα των ως άνω τριγώνων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης