Στην ίδια ευθεία
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Στην ίδια ευθεία
Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , θεωρούμε τα σημεία και . Το σημείο της ευθείας της πλευράς είναι τέτοιο, ώστε οι ευθείες και να είναι συμμετρικές ως προς τη . Τα σημεία , ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Να αποδείξετε ότι τα , , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Στην ίδια ευθεία
Για να δούμε.
Ορίζω τα συμμετρικά του ως προς τις και ομοίως τα για το .Είναι γνωστό ότι οι είναι ευθείες,οι λεγόμενες ευθείες Steiner των οι οποίες περνούν από το ορθόκεντρο του .
Τα σημεία μπορούν να οριστούν ως και ως ,δηλαδή τελικά ως και ζητείται να δειχτεί ότι είναι συνευθειακά.
Ισοδύναμα,ζητείται να δειχτεί ότι οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους,γιατί τότε λόγω της κοινής τους ακτίνας, τα σημεία τομής των ομόλογων ακτινών θα είναι συνευθειακά.
Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι οι έχουν ίσους διπλούς λόγους,το οποίο όμως είναι άμεσο από τις καθετότητες(πχ. κλπ.,δηλαδή τελικά οι δέσμες έχουν ίσες γωνίες μεταξύ των ακτινών τους κλπ...)
Ορίζω τα συμμετρικά του ως προς τις και ομοίως τα για το .Είναι γνωστό ότι οι είναι ευθείες,οι λεγόμενες ευθείες Steiner των οι οποίες περνούν από το ορθόκεντρο του .
Τα σημεία μπορούν να οριστούν ως και ως ,δηλαδή τελικά ως και ζητείται να δειχτεί ότι είναι συνευθειακά.
Ισοδύναμα,ζητείται να δειχτεί ότι οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους,γιατί τότε λόγω της κοινής τους ακτίνας, τα σημεία τομής των ομόλογων ακτινών θα είναι συνευθειακά.
Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι οι έχουν ίσους διπλούς λόγους,το οποίο όμως είναι άμεσο από τις καθετότητες(πχ. κλπ.,δηλαδή τελικά οι δέσμες έχουν ίσες γωνίες μεταξύ των ακτινών τους κλπ...)
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Στην ίδια ευθεία
Με την ίδια αφετηρία...
Έστω , , και , , τα συμμετρικά των , ως προς τις , , αντίστοιχα.
Είναι γνωστό ότι καθεμία από τις δύο παραπάνω τριάδες των σημείων, ανήκει στην ίδια ευθεία,
και συγκεκριμένα στις ευθείες Steiner των σημείων , ως προς το τρίγωνο .
Τις συμβολίζουμε με και αντίστοιχα.
Τότε, και λόγω της υπόθεσης θα είναι:
,
,
Στη συνέχεια, από τα σημεία , θεωρούμε τις παράλληλες , προς τις , αντίστοιχα.
Έστω και . Τότε οι πλευρές του είναι παράλληλες προς τις
αντίστοιχες πλευρές του , οπότε τα δύο τρίγωνα είναι ομοιόθετα.
Επομένως, οι ευθείες που ενώνουν τις ομόλογες κορυφές των, δηλαδή, οι ευθείες , και
θα διέρχονται από το κέντρο ομοιοθεσίας των δύο τριγώνων. Αυτό σημαίνει, λόγω της ότι το κέντρο
ομοιοθεσίας είναι το , δηλαδή, .
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι και .
Έστω , , και , , τα συμμετρικά των , ως προς τις , , αντίστοιχα.
Είναι γνωστό ότι καθεμία από τις δύο παραπάνω τριάδες των σημείων, ανήκει στην ίδια ευθεία,
και συγκεκριμένα στις ευθείες Steiner των σημείων , ως προς το τρίγωνο .
Τις συμβολίζουμε με και αντίστοιχα.
Τότε, και λόγω της υπόθεσης θα είναι:
,
,
Στη συνέχεια, από τα σημεία , θεωρούμε τις παράλληλες , προς τις , αντίστοιχα.
Έστω και . Τότε οι πλευρές του είναι παράλληλες προς τις
αντίστοιχες πλευρές του , οπότε τα δύο τρίγωνα είναι ομοιόθετα.
Επομένως, οι ευθείες που ενώνουν τις ομόλογες κορυφές των, δηλαδή, οι ευθείες , και
θα διέρχονται από το κέντρο ομοιοθεσίας των δύο τριγώνων. Αυτό σημαίνει, λόγω της ότι το κέντρο
ομοιοθεσίας είναι το , δηλαδή, .
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι και .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες