Συντρέχεια με Παράκεντρα

[min##]

Συντρέχε1α.png (38.16 KiB) Προβλήθηκε 1159 φορές

Ένα ωραίο αποτέλεσμα (πιστεύω):Έστω τρίγωνο με παράκεντρα τα και τις προβολές τους στις αντίστοιχα.Έστω επίσης τα μέσα των .Ν.δ.ο. οι συντρέχουν.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Καλές Γιορτές !

Θα "μεταφράσω" για ευκολία το πρόβλημα στο εξής (Θα θεωρήσω βασικά το τρίγωνο που ορίζεται από το παράκεντρα):

Έστω τρίγωνο και τα ύψη από τις κορυφές . Φέρνουμε κάθετες από τις κορυφές πάνω στις και τις τέμνουν στα αντίστοιχα. Έστω τα μέσα των αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί πως οι συντρέχουν.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Θα επισημάνω από την αρχή, ότι σε πολλά σημεία στη λύση, ενώ για παράδειγμα θα υποστηρίζεται ότι δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές, ανάλογα με τις σχετικές θέσεις των σημείων οι δύο γωνίες μπορεί να είναι και ίσες! Ωστόσο συνολικά οι βασικοί ισχυρισμοί δεν επηρεάζονται. Τι κάνει κάποιος αν υπάρχουν τέτοια "προβλήματα"; Πρέπει να καλύψει όλες τις περιπτώσεις;

Συντρέχεια με Παράκεντρα.png (65.19 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

Πίσω στο πρόβλημα:

Έστω καταρχάς τα συμμετρικά των ως προς τις και αντίστοιχα.

Φέρνουμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των και . Έστω ότι τέμνονται στο σημείο .

Ισχύει ότι .

Επιπλέον .

Οπότε , δηλαδή τα σημεία είναι συνευθειακά.

Όμοια συνευθειακά είναι τα .

Άρα μπορούμε να ορίσουμε ως το σημείο τομής της και του περιγεγραμμένου κύκλου του και γνωρίζουμε πως από το διέρχεται και η .

Οπότε με παρόμοια επιχειρηματολογία από το διέρχεται και η .

Οπότε οι ευθείες συντρέχουν.

Ισχύει μάλιστα ότι

Έστω πως οι και τέμνονται στο . Εύκολα προκύπτει ότι , οπότε το είναι το περίκεντρο του .

Στο τετράπλευρο ισχύει ότι αφού και , είναι

Έστω τα συμμετρικά των ως προς τα αντίστοιχα. Αφού και τα είναι τα συμμετρικά των ως προς τα αντίστοιχα, είναι και .

Συνεπώς .

Έστω πως οι και τέμνονται στο .

Αφού και προκύπτει ότι .

Οπότε το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του (Πολλές από τις παραπάνω ισότητες γωνιών δεν ισχύουν ακριβώς, αλλά ο τελευταίος ισχυρισμός είναι αληθής).

Οπότε το μπορεί να οριστεί ως η τομή της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του και γνωρίζουμε πως η διέρχεται από αυτό το σημείο.

Όμοια αν το συμμετρικό του ως προς το , η θα διέρχεται από το .

Επομένως οι συντρέχουν στο .

Θεωρούμε τώρα ομοιοθεσία με κέντρο το και λόγο .

Έστω πως η τέμνει την στο .

Είναι , άρα αφού μέσο του θα είναι μέσο του , οπότε το πάει στο .

Αφού οι ευθείες , δηλαδή η , και είναι παράλληλες ( μέσα πλευρών), ισχύει ότι η πάει στην .

Όμοια η πάει στην και η στην .

Όμως οι συντρέχουν στο , άρα και οι συντρέχουν στο ομοιόθετο του .

Edit: Προστέθηκε το σχήμα με τα "βασικά" σημεία της λύσης!

[min##]

Εξαιρετικά (κλασικά άλλωστε).Να πούμε ότι αν τα (ή στο σχήμα σου) χωρίζουν σε ίσους λόγους τα ύψη (όχι απαραίτητα 1/2) το συμπέρασμα εξακολουθεί να ισχύει .

[min##]

lemma (1).png (47.37 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Για να το δούμε κι αλλιώς.
Βασίζομαι αρχικά στο παρακάτω Λήμμα:

Οι τετράδες είναι ομοκυκλικές.

Απόδειξη (σχήμα 1)
Αρκεί να δειχτεί πχ. ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Παίρνω αντιστροφή κέντρου και δύναμης
Το πάει στο και αντίστροφα.
Το πάει στο συμμετρικό του ως προς την ,έστω και το στο συμμετρικό του
ως προς την έστω (απλό-μια ομοιότητα τριγώνων).
Το πάει στο ορθόκεντρο του συμμετρικού του ως προς την έστω .
Το πάει στην τομή της κάθετης στην στο και της έστω .
Το πάει στο συμμετρικό του ως προς το ,έστω .
Αρκεί να δειχτεί ότι τα είναι συνευθειακά,ή ισοδύναμα ότι τα ,όπου .
Αυτό όμως είναι άμεσο,καθώς και
το Λήμμα έπεται από αντίστροφο Θαλή.

Έτσι πλέον μπορούν τα να οριστούν ως οι τομές των , , αντίστοιχα.
Λήμμα 2ο :


Απόδειξη (σχήμα 2)
(αρκεί πχ. το ).Από τα εγγράψιμα παίρνω αντίστοιχα .Έτσι τα είναι όμοια τρίγωνα.Θεωρώ
σύνθεση αντιστροφής κέντρου , δύναμης και συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο
της .Το πάει στο και αντίστροφα,ενώ το πάει στο και αντίστροφα
από την ομοιότητα.Ο κύκλος πάει λοιπόν στην ευθεία και ο στην ,δηλαδή η τομή τους,το , πάει στο .Επειδή το είναι το σημείο Miquel του
τα θα είναι ομοκυκλικά.Επειδή το είναι το σημείο Miquel του τα
θα είναι ομοκυκλικά.Ο πάει στον ενώ ο στον
.Έτσι,η τομή των ,δηλαδή το ,πάει στην τομή των και επειδή δεν μπορεί να είναι το ,είναι το .Τελικά
και το Λήμμα δείχτηκε.
Λήμμα 3:Έχουμε τρίγωνο και σημεία στο επίπεδο για τα οποία ισχύει .Οι συντρέχουν.

Απόδειξη (σχήμα 3)
Αλλάζω λίγο τη διαδικασία:Επιλέγω σημείο του επιπέδου,έπειτα παίρνω τη συμμετρική της
ως προς τη διχοτόμο της πάνω στην οποία επιλέγω σημείο .Κατόπιν,παίρνω τις συμμετρικές των ως προς τις διχοτόμους των και οριζω ως το σημείο τομής τους.Αρκεί να δειχτεί ότι οι τέμνονται στην .
Καθώς το κινείται στην ευθεία του (συμμετρική της ) διαγράφει ίσο διπλό λόγο με το
στη δική του (συμμετρική της ) λόγω των ίσων γωνιών.Οι δέσμες είναι προβολικές
και επειδή όταν το συμπέσει με το το συμπέφτει με το ,είναι και
προοπτικές,δηλαδή οι ομόλογες ακτίνες τους τέμνονται σε ευθεία.Όταν το πέσει στην ,το
θα πέσει στην (στο ισογώνιο του ) και όταν πέσει στη το θα βρεθεί στην
.Έτσι ο άξονας προοπτικότητας (πάνω στον οποίο βρίσκονται οι τομές των ομόλογων
ακτινών) είναι η και το ζητούμενο δείχτηκε.

lemma2.png (56.7 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

lemma 3.png (55.84 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές