Γωνίες με κοινή διχοτόμο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

giannimani
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm

Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.
sm_bis.png
sm_bis.png (47.99 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Φεβ 09, 2019 11:50 pm

giannimani έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm
Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.sm_bis.png
Ας δούμε μια λύση με στοιχειώδη μέσα στο όμορφο πρόβλημα του Γιάννη

Έστω K\equiv XQ\cap \left( M \right),K\ne Q\,\,\,\And \,\,L\equiv XP\cap \left( N \right),L\ne P . Τότε έχουμε:
\angle XPK=\angle KQP\equiv \angle XQP:\left( 1 \right) (υπό χορδής και εφαπτομένης – αντίστοιχη εγγεγραμμένη στον κύκλο \left( M \right) ) οπότε επειδή τα τρίγωνα \vartriangle XKP,\vartriangle XQP μοιράζονται και τη γωνία \angle KXP\equiv \angle PXQ θα είναι όμοια , άρα \dfrac{{XP}}{{XQ}} = \dfrac{{KP}}{{PQ}}:\left( 2 \right)
Κοινή διχοτόμος.png
Κοινή διχοτόμος.png (50.44 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές
Επίσης \angle KMP\mathop  = \limits^{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } 2\left( {\angle KQP} \right) \mathop  = \limits^{\angle KQP = \angle QLP\,\,(\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,\, - \,\,\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \eta \,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta )} 2\left( {\angle QLP} \right)\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta } \angle PMQ

Και συνεπώς τα ισοσκελή τρίγωνα (εξαιτίας των ακτινών) \vartriangle MKP,\vartriangle NQP έχοντας τις γωνίες των «κορυφών» τους ίσες θα είναι όμοια οπότε \dfrac{MP}{NQ}=\dfrac{KP}{PQ}:\left( 3 \right)

Από \left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \dfrac{XP}{XQ}=\dfrac{MP}{NQ}:\left( 4 \right) . Από την \left( 4 \right) προκύπτει ότι οι αντίστοιχες κάθετες πλευρές των ορθογωνίων (στις κορυφές P,Q από τις επαφές) τριγώνων \vartriangle XPM,\vartriangle XQN αντίστοιχα είναι ανάλογες , οπότε αυτά είναι όμοια και συνεπώς \angle MXP=\angle NXQ\Rightarrow \angle MXQ=\angle NXP οπότε οι γωνίες \angle MXN,\angle QXP έχουν κοινή διχοτόμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4032
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Φεβ 10, 2019 8:36 am

giannimani έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 6:39 pm
Δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα M και N τέμνονται στα σημεία P και Q. Η εφαπτομένη του πρώτου κύκλου, που άγεται στο σημείο P, τέμνει
την εφαπτομένη στο Q του δεύτερου κύκλου, στο σημείο X. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες PXQ και MXN έχουν κοινή διχοτόμο.sm_bis.png
Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση που "πιθανόν" να δικαιολογεί και το φάκελο ...

Έστω XA,XB τα δεύτερα (εκτός των XP,XQ εφαπτομενικά τμήματα των κύκλων \left( M \right),\left( N \right) αντίστοιχα και ας είναι

K \equiv XQ \cap \left( M \right),K \ne Q,E \equiv XQ \cap AP,L \equiv XP \cap \left( N \right), L \ne P,Z \equiv XP \cap BQ
Με AP,BQ τις πολικές του X ως προς τους κύκλους \left( M \right),\left( N \right) αντίστοιχα προκύπτει ότι οι σειρές \left( X,K,E,Q \right),\left( X,P,Z,L \right) είναι αρμονικές άρα έχουν ίσους διπλούς λόγους , δηλαδή \left( X,K,E,Q \right)=\left( X,P,Z,L \right):\left( 1 \right)
Κοινή διχοτόμος 2.png
Κοινή διχοτόμος 2.png (45.21 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές
Με \angle XPK\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...} \angle PQK \mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...} \angle PLQ \Rightarrow KP\parallel QL\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

KP\parallel QL\parallel EZ \Rightarrow \angle PZE = \angle XPK = \angle PQK \equiv \angle PQE \Rightarrow P,Z,Q,E ομοκυκλικά , οπότε \angle XPA \equiv \angle XPE\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,....} \angle ZQE \equiv \angle BQX άρα τα ισοσκελή τρίγωνα (από τα εφαπτομενικά τμήματα …) \vartriangle XAP,\vartriangle XQB είναι όμοια και συνεπώς

\angle AXP = \angle QXB \Rightarrow 2\left( {\angle PXM} \right) = 2\left( {\angle QXN} \right)  \Rightarrow \angle PXM = \angle QXN \ldots και το ζητούμενο έπεται (όπως στην προηγούμενη ανάρτηση)


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
giannimani
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Κυρ Φεβ 10, 2019 9:52 am

sm_bis_sol.png
sm_bis_sol.png (88.56 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές
Θεωρούμε τη διχοτόμο της γωνίας PXQ η οποία τέμνει την ευθεία MN στο σημείο K. Θα αποδείξουμε ότι η XK είναι διχοτόμος και της γωνίας MXN.

Έστω ότι οι ευθείες των ακτίνων MP και NQ τέμνονται στο σημείο Y. Τότε, εφόσον \angle XPY\,=\,\angle XQY\,=\,90^{\circ}, τα σημεία X, P, Q και Y ανήκουν σε κύκλο (\omega) διαμέτρου XY. Το κέντρο Ο αυτού του κύκλου ανήκει στην ευθεία MN (εφόσον η τελευταία είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής PQ των κύκλων της υπόθεσης), η οποία διέρχεται επίσης από το μέσο του τόξου PQ του κύκλου (\omega), που είναι το σημείο K.

Έστω επίσης L το δεύτερο κοινό σημείο της MN με τον κύκλο (\omega). Η KL διάμετρος του (\omega), οπότε \angle KXL \,=\,90^{\circ}.
Για να αποδείξουμε ότι η XK διχοτόμος της γωνίας MXN, αρκεί
(MNKL)\,=\,-1\,\Leftrightarrow \, OK^2\,=\,OM \cdot ON\,\Leftrightarrow \, OY^2\,=\,OM\cdot ON
\Leftrightarrow \, \frac{OY}{OM}\,=\,\frac{ON}{OY}\,\Leftrightarrow \,\vartriangle OYM\,\sim\, \vartriangle ONY.

Τα τετράπλευρα OYQM και OYNP είναι εγγράψιμα. Πράγματι,
\angle MYQ \,=\,\angle PYQ\,=\,\frac{1}{2}\angle POQ\,=\,\angle MOQ\,=\,PON.
(η γωνία POQ είναι αντίστοιχη επίκεντρη της γωνίας XYP, και η OK διχοτόμος της POQ).
Τώρα, εύκολα προκύπτει η ζητούμενη ομοιότητα των τριγώνων, και συνεπώς το αποδεικτέο.


Στην πορεία της λύσης χρησιμοποιήθηκαν τα επόμενα λήμματα:

1. (MNKL)\,=\,-1 \,\Leftrightarrow \, (KLMN)\,=\,-1.

2. Αν (KLMN)\,=\,-1 και O το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος KL, τότε OK^2\,=\,OM \cdot  ON.

3. Έστω τέσσερα σημεία L, M, K και N, με αυτή τη σειρά, που ανήκουν σε μία ευθεία (\varepsilon).
Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τους επόμενους τρεις ισχυρισμούς, τότε θα ισχύει και ο τρίτος:
(a) (LKMN)=-1.
(b) Η XK είναι εσωτερική διχοτόμος της \angle{MXN}, όπου X \notin (\varepsilon).
(c) XK \perp XL, όπου X \notin (\varepsilon).


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Φεβ 10, 2019 11:01 am

Διαφορετικά με δύναμη σημείου και νόμο συνημιτόνων προκύπτει ότι οι εφαπτομένες των δύο γωνιών είναι ίσες από όπου προκύπτει το ζητούμενο.


Bye :')
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 319
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Γωνίες με κοινή διχοτόμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Φεβ 10, 2019 12:18 pm

isogonia1.png
isogonia1.png (36.73 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές
Για να το δούμε και με αντιστροφή.
Έστω K\equiv XQ\cap (M),L\equiv XP\cap (N).Όπως είδαμε και παραπάνω είναι KP//QL.Θεωρούμε σύνθεση αντιστροφής κέντρου X και ακτίνας \sqrt{XP\cdot XQ} και συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο της PXQ\angle.Τα P,Q ανταλλάσσονται,ενώ και K,L ανταλλάσονται,αφού \frac{XK}{XQ}=\frac{XP}{XL} από Θαλή,δηλαδή XK\cdot XL=XP\cdot XQ.Άρα ο (M) πάει στον (N) κι αντίστροφα.Αν δούμε λίγο τον κύκλο που προκύπτει από αυτή τη σύνθεση μετασχηματισμών πριν όμως τη συμμετρία,αυτός είναι ο αντίστροφος του (M).Άρα,το κέντρο του κύκλου αυτού βρίσκεται πάνω στην XM,αφού το M κέντρο του αρχικού κύκλου (γνωστή πρόταση).Άρα,τα X,M,N',με N' το κέντρο του αντίστροφου του (M)
είναι συνευθειακά,άρα μετά τη συμμετρία,το συμμετροαντίστροφο του M θα πέσει κάπου στη XN από όπου έπεται η ισογωνιότητα..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης