Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Μαρ 18, 2019 4:32 pm

Αφιερωμένη στην μνήμη του Vladimir Zajik.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω A',\ B'\ C', τρία τυχόντα σημεία επί των μεσοκαθέτων ευθειών των πλευρών του BC,\ AC,\ AB αντιστοίχως και στο εξωτερικό μέρος αυτού. Έστω τα σημεία D\equiv BA'\cap B'C και E\equiv CA'\cap C'B και F\equiv AB'\cap A'C και Z\equiv CB'\cap C'A και K\equiv AC'\cap A'B και J\equiv BC'\cap B'A και ας είναι A'',\ B'',\ C'', τα μέσα των τμημάτων DE,\ FZ,\ KJ, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι:
(a) - Οι ευθείες A'A'',\ B'B'',\ C'C'', τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το Q.
(b) - Οι ευθείες A''M,\ B''N,\ C''L, τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το P, όπου L,\ M,\ N, είναι τα μέσα των of AB,\ BC,\ AC, αντιστοίχως.
(c) - Τα σημεία O,\ P,\ Q, είναι συνευθειακά, όπου O είναι το περίκεντρο του δοσμένου τριγώνου \vartriangle ABC.


Κώστας Βήττας.
f 185_t 64064.PNG
Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.
f 185_t 64064.PNG (36.77 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 31, 2019 11:16 pm

vittasko έγραψε:
Δευ Μαρ 18, 2019 4:32 pm
Αφιερωμένη στην μνήμη του Vladimir Zajik.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω A',\ B'\ C', τρία τυχόντα σημεία επί των μεσοκαθέτων ευθειών των πλευρών του BC,\ AC,\ AB αντιστοίχως και στο εξωτερικό μέρος αυτού. Έστω τα σημεία D\equiv BA'\cap B'C και E\equiv CA'\cap C'B και F\equiv AB'\cap A'C και Z\equiv CB'\cap C'A και K\equiv AC'\cap A'B και J\equiv BC'\cap B'A και ας είναι A'',\ B'',\ C'', τα μέσα των τμημάτων DE,\ FZ,\ KJ, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι:
(a) - Οι ευθείες A'A'',\ B'B'',\ C'C'', τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το Q.
(b) - Οι ευθείες A''M,\ B''N,\ C''L, τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το P, όπου L,\ M,\ N, είναι τα μέσα των of AB,\ BC,\ AC, αντιστοίχως.
(c) - Τα σημεία O,\ P,\ Q, είναι συνευθειακά, όπου O είναι το περίκεντρο του δοσμένου τριγώνου \vartriangle ABC.


Κώστας Βήττας.

f 185_t 64064.PNG
Καλησπέρα Κώστα. Πολύ όμορφη πρόταση !!!!. Συνήθως δεν βάζω λήμματα αλλά εδώ χρειάζεται αφενός γιατί το σχήμα είναι λιγάκι "δυσκολούτσικο" αφετέρου γιατί το λήμμα αυτό αποτελεί από μόνο του μια σπουδαία νομίζω πρόταση και αξίζει να εμφανιστεί μόνο του.

 \bullet Από το Θεώρημα του Πάππου για τις τριάδες των συνευθειακών σημείων \left( J,C',B \right) και \left( Z,{B}',C \right) προκύπτει ότι τα σημεία J{B}'\cap Z{C}'\equiv A,JC\cap ZB\equiv Y,{C}'C\cap {B}'B\equiv O είναι συνευθειακά και με A,O,{A}' συνευθειακά προκύπτει ότι A,Y,{A}' είναι συνευθειακά και Y\equiv A{A}'\cap JC\cap ZB , άρα τα τρίγωνα \vartriangle AJZ,\vartriangle {A}'CB είναι προοπτικά με σημείο προοπτικότητας το Y άρα σύμφωνα με το θεώρημα του Desargues τα σημεία τομής των ομολόγων πλευρών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή AZ\cap {A}'B\equiv K,AJ\cap {A}'C\equiv F,JZ\cap CB\equiv T είναι συνευθειακά.

 \bullet Έστω {M}''\equiv {B}''{C}''\cap MN . Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα θα είναι {M}'' το μέσο της AT και συνεπώς από το πλήρες τετράπλευρο KJZFTX,X\equiv KJ\cap FZ τα σημεία {B}'',{C}'',{M}'' είναι συνευθειακά (ευθεία Gauss (διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου )). Άρα {M}''\equiv MN\cap {B}'{C}'\cap {B}''{C}'' και με όμοιο τρόπο (κυκλικά προκύπτει ότι τα σημεία ML\cap {A}'{C}'\cap {A}''{C}''\equiv {N}'',MN\cap {A}'{B}'\cap {A}''{B}''\equiv {L}''

Τα τρίγωνα όμως \vartriangle MNL,\vartriangle {A}'{B}'{C}' είναι προοπτικά με σημείο προοπτικότητας το O οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Desargues τα σημεία τομής των ομολόγων πλευρών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή {M}'',{L}'',{N}'' είναι συνευθειακά.
Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2(1).png
Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2(1).png (72.96 KiB) Προβλήθηκε 938 φορές
 \bullet Έτσι προκύπτει ότι οι τριάδες των προοπτικών τριγώνων \left( \vartriangle {A}''{B}''{C}'',\vartriangle {A}'{B}'{C}' \right),\left( \vartriangle MNL,\vartriangle {A}'{B}'{C}' \right),\left( \vartriangle MNL,\vartriangle {A}''{B}''{C}'' \right),αφού τα σημεία τομής των ομολόγων πλευρών τους είναι συνευθειακά (όπως δείξαμε πιο πάνω) και συνεπώς οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους διέρχονται από το ίδιο σημείο σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος του Desargues , δηλαδή
α) οι ευθείες {A}'{A}'',{B}'{B}'',{C}'{C}'' διέρχονται από το ίδιο σημείο έστω Q
b) οι ευθείες {A}''M,{B}''N,{C}''L διέρχονται από το ίδιο σημείο έστω P
c) Από την προοπτικότητα των τριγώνων \vartriangle {B}'{B}''N,\vartriangle {C}'{C}''L όπως φαίνεται στο σχήμα (με σημείο προοπτικότητας το {M}'' ) προκύπτει σύμφωνα με το Θεώρημα του Desargues ότι τα σημεία τομής των ομολόγων πλευρών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή τα {B}'{B}''\cap {C}'{C}''\equiv Q,{B}'N\cap {C}'L\equiv O,{B}''N\cap {C}''L\equiv P είναι συνευθειακά και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.

Λήμμα : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC\left( AB=AC \right) και επί των μεσοκαθέτων των πλευρών του BC,CA,AB (με μέσα τα M,N,L αντίστοιχα) και προς το εξωτερικό μέρος του τριγώνου \vartriangle ABC θεωρούμε τα σημεία {A}',{B}',{C}' αντίστοιχα. Αν F\equiv C{A}'\cap A{B}',K\equiv A{C}'\cap B{A}' και {M}'\equiv NL\cap {B}'{C}' να δειθχεί ότι το {M}' είναι το μέσο του SA όπου S\equiv KF\cap BC

Θα βάλω αργότερα (ίσως και αύριο) μια απόδειξη της όμορφης αυτής πρότασης (όχι δύσκολης αλλά όμορφης !!!!)

Με όλη μου την εκτίμηση και το θαυμασμό μου!!! στο πρόσωπό σου

Αδελφικά
Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Απρ 01, 2019 12:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 319
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Μαρ 31, 2019 11:35 pm

Αν δεν κάνω σοβαρό λάθος ,δηλαδή το συμπέρασμα ισχύει και για τυχαίο τρίγωνο/σημεία στις διαμέσους,έτσι;


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 01, 2019 10:40 am

min## έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:35 pm
Αν δεν κάνω σοβαρό λάθος ,δηλαδή το συμπέρασμα ισχύει και για τυχαίο τρίγωνο/σημεία στις διαμέσους,έτσι;
Μίνο ,

αν θέλεις δώσε κάποιες διευκρινήσεις για το τι ακριβώς εννοείς και αν αυτό ισχύει για την αρχική πρόταση του Κώστα ή για το Λήμμα που έγραψα και θα αναρτήσω την απόδειξη το μεσημεράκι γιατί τώρα βρίσκομαι στο σχολείο και έχω μάθημα

Φιλικά
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 01, 2019 12:26 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:16 pm

Λήμμα : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC\left( AB=AC \right) και επί των μεσοκαθέτων των πλευρών του BC,CA,AB (με μέσα τα M,N,L αντίστοιχα) και προς το εξωτερικό μέρος του τριγώνου \vartriangle ABC θεωρούμε τα σημεία {A}',{B}',{C}' αντίστοιχα. Αν F\equiv C{A}'\cap A{B}',K\equiv A{C}'\cap B{A}' και {M}'\equiv NL\cap {B}'{C}' να δειθχεί ότι το {M}' είναι το μέσο του SA όπου S\equiv KF\cap BC
 \bullet Από τα προοπτικά τρίγωνα \vartriangle {C}'O{B}',\vartriangle K{A}'F με σημείο προοπτικότητας το A\equiv K{C}'\cap {A}'O\cap F{B}' προκύπτει σύμφωνα με το θεώρημα του Desargues ότι τα σημεία τομής των ομολόγων πλευρών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή τα Y\equiv {C}'O\cap K{A}',Y\equiv O{B}'\cap {A}'F,T\equiv {C}'{B}'\cap KF είναι συνευθειακά.

Εύκολα προκύπτει (συμμετρία σχήματος ή από ισότητα τριγώνων ) ότι XY\bot A{A}'\Rightarrow XYT\parallel {M}'LN\parallel SBC (AA' μεσοκάθετη της XY)
Λήμμα.png
Λήμμα.png (30.3 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
 \bullet Από XT\parallel SC \Rightarrow \dfrac{{SC}}{{XT}} = \dfrac{{FC}}{{FX}}:\left( 1 \right) και από XT\parallel M'N \Rightarrow \dfrac{{M'N}}{{XT}} = \dfrac{{B'N}}{{B'X}}:\left( 2 \right). Από \left( 1 \right):\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{SC}}{{M'N}} = \dfrac{{FC}}{{FX}} \cdot \dfrac{{B'X}}{{B'N}}:\left( 3 \right)

 \bullet Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle NXC με διατέμνουσα την A{B}'F προκύπτει ότι

\dfrac{{AN}}{{AC}} \cdot \dfrac{{FC}}{{FX}} \cdot \dfrac{{B'X}}{{B'N}} = 1\mathop  \Rightarrow \limits^{AC = 2AN} \dfrac{{FC}}{{FX}} \cdot \dfrac{{B'X}}{{B'N}} = 2\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} SC = 2M'N και επειδή N το μέσο της AC και {M}'N\parallel SC\Rightarrow {M}' το μέσο της AS και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 01, 2019 1:33 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Απρ 01, 2019 10:40 am
min## έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:35 pm
Αν δεν κάνω σοβαρό λάθος ,δηλαδή το συμπέρασμα ισχύει και για τυχαίο τρίγωνο/σημεία στις διαμέσους,έτσι;
Μίνο ,

Έχεις απόλυτα δίκιο ότι η πρόταση ισχύει και για οποιαδήποτε σημεία των διαμέσων (εξωτερικά του τριγώνου) και η απόδειξη είναι προφανώς παρόμοια με αυτό που έχω κάνει. Απλά το περίκεντρο αντιστοιχεί στο βαρύκεντρο (Αν σκεφτούμε προβολικά τελειώσαμε !!!! σύμφωνα με την παραπάνω απόδειξη (δες τε το σχήμα υπό διαφορετική γωνία!)

Φιλικά
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 319
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Απρ 01, 2019 3:12 pm

Ακριβώς!Άλλωστε τα περισσότερα θεωρήματα της παραπάνω (κομψής) απόδειξης είναι καθαρά προβολικά(βλ.Desargues,Πάππο,συντρέχειες).Όσο για το λήμμα έχω τις αμφιβολίες μου για το κατά πόσο μεταφέρεται στη γενική περίπτωση,κυρίως γιατί έχει μεσοκαθέτους που δεν "βλέπονται" τόσο προβολικά.Πιθανότατα να κάνω λάθος..Παρ'όλα αυτά και αυτό παρακάμπτεται.Αν πάρουμε το γενικό πρόβλημα,το οποίο επίσης δε βλέπεται τελείως προβολικά (έχει μέσα τμημάτων) αντί για (γενικά) προβολικό μετασχηματισμό παίρνουμε μια παράλληλη προβολή του επιπέδου:Οι παράλληλες προβολές διατηρούν συνευθειακότητες,λόγους εντός τμημάτων( Θεώρημα Θαλή),παραλληλίες κλπ.Είναι επίσης "γνωστό" ότι ένα οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να μετασχηματιστεί σε ισόπλευρο και αντίστροφα(Σμικρύνουμε το σκαληνό τρίγωνο ώστε η βάση του να γίνει ίση με του ισοπλεύρου και μετακινούμε το επίπεδό του ώστε να συμπέσουν οι δύο βάσεις.Έπειτα επιλέγουμε ως διεύθυνση την ευθεία που συνδέει τις μη ταυτιζόμενες κορυφές).Έτσι αναγόμαστε στην ειδική περίπτωση του ισοπλεύρου (αφού κι όλας τα μέσα τμημάτων πάνε σε μέσα τμημάτων) που έχει αποδειχτεί παραπάνω.Το δύσκολο λοιπόν,όπως και η ουσία, είναι το "ειδικό"

Σημ:Παράλληλη προβολή εννοούμε να σταθεροποιήσουμε μια διέυθυνση (ευθεία) κατά την οποία προβάλλουμε το ένα επίπεδο στο άλλο.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 01, 2019 4:15 pm

min## έγραψε:
Δευ Απρ 01, 2019 3:12 pm
...Όσο για το λήμμα έχω τις αμφιβολίες μου για το κατά πόσο μεταφέρεται στη γενική περίπτωση,κυρίως γιατί έχει μεσοκαθέτους που δεν "βλέπονται" τόσο προβολικά.Πιθανότατα να κάνω λάθος....
Μίνο

Η απόδειξη του Λήμματος που αναφέρω πιο πάνω στηρίζεται στην παραλληλία της XY με την BC (απαραίτητη προϋπόθεση για την απόδειξή του). Όμως η παραλληλία αυτή δεν εξαρτάται από τις μεσοκάθετες και ισχύει (προφανώς άμα θέλεις και προβολικά) και στην "τυχαιότητα".

Ας δούμε το παρακάτω απλούστατο Λήμμα 2 (η απόδειξη του οποίου γίνεται και με την ευθεία Gauss) που στην περίπτωσή μας ταυτίζεται με την μια διαγωνίου πλήρους τετραπλεύρου)

Λήμμα 2

Δίνεται τυχόν τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι P,S τυχόντα σημεία της διαμέσου του AM και της προέκτασης της προς το M αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι XY\parallel BC , όπου X\equiv BP\cap SC,Y\equiv CP\cap SB .

Απόδειξη
Λήμμα 2.png
Λήμμα 2.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές
Από το πλήρες τετράπλευρο BPCSXY προκύπτει ότι η σειρά \left( X,K,M,N \right) είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο, έτσι η δέσμη Y.XKMN\equiv Y.XCMB είναι αρμονική και με M το μέσο της BC προκύπτει ότι XY\parallel BC και το ζητούμενο λήμμα 2 έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 319
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Απρ 01, 2019 4:41 pm

Έτσι ναι,μάλιστα.Έγινε κατανοητό :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4030
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 2.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 01, 2019 5:04 pm

5 συνευθειακά.png
5 συνευθειακά.png (97.68 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές
Δίνεται τυχόν τρίγωνο \vartriangle ABC και από τυχόντα σημεία των προεκτάσεων των διαμέσων του AM,BN,CL φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές του BC,CA,AB που τέμνονται στα σημεία {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}} αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα κέντρα ομοιοθεσίας X,G,Y των ζευγών των ομοίων (προφανώς ) τριγώνων \left( \vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}},\vartriangle ABC \right),\left( \vartriangle ABC,\vartriangle MNL \right),\left( \vartriangle MNL,\vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right) είναι συνευθειακά και η ευθεία XGY περιέχει τα σημεία P,Q της αρχικής πρότασης του Κώστα (Βήττα) στη γενικής της περίπτωση.

Στάθης

Υ.Σ. Η παραπάνω πρόταση είναι αφιερωμένη στον αγαπητό φίλο Μηνά Μαργαρίτη


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης