Και οι τέσσερις συντρέχουν
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Και οι τέσσερις συντρέχουν
Να αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν
τα σημεία , επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του , αντίστοιχα,
τα σημεία επαφής , αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κύκλους,
τα ίχνη των υψών , επί των δύο αυτών πλευρών, και
τα ίχνη των διχοτόμων, επίσης επί των δύο αυτών πλευρών,
διέρχονται από το ίδιο σημείο (ή είναι παράλληλες).
τα σημεία , επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του , αντίστοιχα,
τα σημεία επαφής , αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κύκλους,
τα ίχνη των υψών , επί των δύο αυτών πλευρών, και
τα ίχνη των διχοτόμων, επίσης επί των δύο αυτών πλευρών,
διέρχονται από το ίδιο σημείο (ή είναι παράλληλες).
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Παραθέτω μια "Υπερβολική" λύση
Είναι γνωστό ότι οι :
1) περνούν από το ορθόκεντρο του .
2) περνούν από το έκκεντρο του .
3) περνούν από το σημείο () του .
4) περνούν από το σημείο () του .
Είναι επίσης γνωστό ότι υπάρχει (ισοσκελής) υπερβολή που περνάει από τα η
οποία ονομάζεται Υπερβολή του Feuerbach.(σχήμα πρώτο).Αποδεικνύεται σχετικά απλά αν υπολογίσουμε τους διπλούς λόγους των (γνωστών συναρτήσει των πλευρών) σημειοσειρών ,οι οποίοι βγαίνουν ίσοι.
Δείχνουμε το ακόλουθο Λήμμα:
Έστω το σεβιανό ενός σημείου ως προς το τρίγωνο .Έστω κωνική
που περνάει από τα .Τότε η πολική του ως προς την κωνική είναι η κλπ.
Απόδειξη:Ουσιαστικά άμεση από Desargues Involution(εδώ με αποδείξεις
viewtopic.php?f=167&t=63423&p=306522&hilit=%CE%B5%CE%BD
%CE%AD%CE%BB%CE%B9%CE%BE%CE%B7#p306522).Αν η κωνική τέμνει την
στα τότε από το παραπάνω θεώρημα για το τετράπλευρο και την ευθεία τα ,, βρίσκονται σε ενέλιξη (προβολικός
μετασχηματισμός που η διπλή του εφαρμογή είναι ο ταυτοτικός).Τα είναι σταθερά
σημεία,άρα η ενέλιξη είναι αντιστροφή με κέντρο το μέσο του .
(Γενικά η ενέλιξη σε
ευθεία είναι αντιστροφή με κέντρο στην ευθεία:Αν μέσω ενέλιξης το σημείο στο της ευθείας πάει σε σημείο ,τότε για οποιαδήποτε συζηγή σημεία της ενέλιξης,ισχύει ,δηλαδή η ενέλιξη είναι αντιστροφή κέντρου )
.Άρα τα είναι αντίστροφα σε αυτή την
αντιστροφή και άρα αρμονική.Άρα η πολική του ως προς την κωνική
περνάει από το .Ομοίως περνάει και από το και το ζητούμενο δείχτηκε..
Στο αρχικό πρόβλημα τώρα,οι πόλοι των ευθειών ως προς την Υπερβολή του
Feuerbach βρίσκονται όλοι πάνω στην (για το ορθικό τρίγωνο πχ, ο πόλος της ευθείας αυτής
είναι η προβολή του στην από το προηγούμενο λήμμα κλπ.).Αν θεωρήσουμε ως τον
πόλο της προκύπτει από τα προηγούμενα ότι το ανήκει σε όλες τις παραπάνω ευθείες
και το ζητούμενο δείχτηκε..
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν
giannimani έγραψε: ↑Τετ Απρ 17, 2019 12:41 pmΝα αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν
τα σημεία , επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του , αντίστοιχα,
τα σημεία επαφής , αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κύκλους,
τα ίχνη των υψών , επί των δύο αυτών πλευρών, και
τα ίχνη των διχοτόμων, επίσης επί των δύο αυτών πλευρών,
διέρχονται από το ίδιο σημείο (ή είναι παράλληλες).concur.png
Δε το έχω κοιτάξει διεξοδικά ακόμα, αλλά φαίνεται σαν ειδική περίπτωση (ή ισοδύναμο) με το ερώτημα (α1) εδώ.
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Τώρα, στη δέσμη η και το είναι το μέσο του , δηλαδή, το διχοτομείται
από τις ακτίνες , , , οπότε η δέσμη είναι αρμονική, δηλαδή,
Όμοια, .
Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε ότι οι ευθείες , και , διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Στο τρίγωνο με τέμνουσα των πλευρών του την (έστω ),
από το θεώρημα Μενελάου έχουμε: .
Στο τρίγωνο με τέμνουσα των πλευρών του την (έστω ),
από το θεώρημα Μενελάου έχουμε:.
Για να αποδείξουμε ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί ,
ή λόγω των και .
Όμως, (, σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές , αντίστοιχα).
Ως εκ τούτου, η γίνεται: , ή .
Στο τρίγωνο είναι , οπότε .
Όμοια, από το τρίγωνο έχουμε .
Η λόγω των και γίνεται .
Θα χρησιμοποιήσουμε τους επόμενους τύπους , , , (*).
Σύμφωνα με τους ανωτέρω τύπους, το αριστερό μέλος της γράφεται
, το οποίο μας εξασφαλίζει ότι .
Τελικά, για να αποδείξουμε ότι και η διέρχεται από το , χρησιμοποιούμε το επόμενο θεώρημα:
Αν και , και οι ευθείες , , τέµνονται σε ένα σηµείο, έστω ,
τότε και η ευθεία διέρχεται από το .
(*) Οι δύο πρώτοι τύποι προκύπτουν από τον τύπο που δίνει το μήκος της διχοτόμου σε ένα τρίγωνο :
,
και
(-έκκεντρο του τριγώνου)
και ο τρίτος και τέταρτος τύπος από το θεώρημα των διχοτόμων.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Και οι τέσσερις συντρέχουν
Σχετικά εύκολα (όπως αναφέρει και ο Μίνος πιο πάνω) υπολογίζοντας συναρτήσει των πλευρών τα αντίστοιχα τμήματα αποδεικνύεται ότιgiannimani έγραψε: ↑Τετ Απρ 17, 2019 12:41 pmΝα αποδείξετε ότι, σε ένα τρίγωνο οι τέσσερις ευθείες που περιέχουν
τα σημεία , επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές του , αντίστοιχα,
τα σημεία επαφής , αυτών των πλευρών με τους αντίστοιχους παρεγγεγραμμένους κύκλους,
τα ίχνη των υψών , επί των δύο αυτών πλευρών, και
τα ίχνη των διχοτόμων, επίσης επί των δύο αυτών πλευρών,
διέρχονται από το ίδιο σημείο (ή είναι παράλληλες).concur.png
οπότε οι δέσμες και έχουν ίσους διπλούς λόγους και με κοινή ακτίνα τους την προκύπτει ότι τα σημεία τομής των αντιστοίχων άλλων ακτινών τους είναι συνευθειακά , δηλαδή τα είναι συνευθειακά οπότε τα τρίγωνα είναι σύμφωνα με το Θεώρημα του Desarques προοπτικά και συνεπώς οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους διέρχονται από το ίδιο σημείο , δηλαδή
Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι άρα … οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο άρα και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες