Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Ας είναι επίσης τα μέσα των διαγωνίων του αντίστοιχα. Αν και , δείξτε ότι:
a.
b. το είναι εγγράψιμο, τότε και μόνο τότε αν, το είναι εγγράψιμο
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Το ζητούμενο είναι σχεδόν προφανές.
Πράγματι, η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος Ευθεία Gauss-Newton και άρα, το τετράπλευρο είναι τραπέζιο με .
Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και το είναι εγγράψιμο.
Οι διχοτόμοι των γωνιών τέμνονται σε σημείο έστω , επί του τμήματος γνωστό αποτέλεσμα από το παρελθόν, το οποίο έχει συζητηθεί στο .
Στα όμοια τρίγωνα οι είναι ομόλογες διάμεσοι και άρα έχουμε
Η διχοτόμος της γωνίας ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας και ομοίως, η διχοτόμος της γωνίας ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας .
Λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει
Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το και έχουμε ότι το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως ισχύει
Από και τώρα, προκύπτει ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική και άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton,
έχουμε
Από και λόγω του ορθογωνίου τριγώνου προκύπτει ότι
Από έχουμε ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου κατά το σημείο
και επομένως ισχύει
Από και λόγω
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Αφήνεται στον αναγνώστη, η απόδειξη της εγγραψιμότητας του όταν το είναι εγγράψιμο.
Πράγματι, η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος Ευθεία Gauss-Newton και άρα, το τετράπλευρο είναι τραπέζιο με .
Για το δεύτερο ζητούμενο, έστω ότι το είναι εγγράψιμο και θα αποδειχθεί ότι και το είναι εγγράψιμο.
Οι διχοτόμοι των γωνιών τέμνονται σε σημείο έστω , επί του τμήματος γνωστό αποτέλεσμα από το παρελθόν, το οποίο έχει συζητηθεί στο .
Στα όμοια τρίγωνα οι είναι ομόλογες διάμεσοι και άρα έχουμε
Η διχοτόμος της γωνίας ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας και ομοίως, η διχοτόμος της γωνίας ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας .
Λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου , εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει
Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το και έχουμε ότι το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως ισχύει
Από και τώρα, προκύπτει ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική και άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton,
έχουμε
Από και λόγω του ορθογωνίου τριγώνου προκύπτει ότι
Από έχουμε ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου κατά το σημείο
και επομένως ισχύει
Από και λόγω
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Αφήνεται στον αναγνώστη, η απόδειξη της εγγραψιμότητας του όταν το είναι εγγράψιμο.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Θάνο και Κώστα Καλησπέρα από Βρυξέλλες μεριά.
Αναφέρομαι στο σχήμα του Θάνου
Στην περίπτωση της εγγραψιμότητας του η «προφανής ομοιότητα» των ζευγών των τριγώνων (μια γωνία και τις πλευρές που την περιέχουν ανάλογες) και οδηγεί εύκολα (γωνιακά) στην εγγραψιμότητα του (απέναντι γωνίες παραπληρωματικές)
Με εκτίμηση
Στάθης
Υ.Σ. Το πρόβλημα συνεχίζει να ισχύει για τα σημεία τομής των ισογώνιων ως προς τις απέναντι πλευρές του αρχικού εγγεγραμμένου τετραπλεύρου
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τρί Απρ 23, 2019 12:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες