Στοχεύοντας το σημείο Miquel

#1

: Λήμμα.png (18.74 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

Έστω $\left( O \right)$ ο περίκυκλος τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{O}'} \right)$ τυχαίος κύκλος χορδής

που τέμνει τις AB,AC

στα σημεία D,E

αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η {A}'{O}'

διέρχεται από το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου $BCEDAS,S\equiv DE\cap BC$ με {A}'

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον $\left( O \right)$

Στάθης

Υ.Σ. Συγνώμη για το "σχήμα" αλλά στην αλλοδαπή δεν υπάρχουν τα κατάλληλα εργαλεία

min## · #2

: lemmmiquel.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Καλησπέρα και καλή Ανάσταση να έχουμε.
Αλλάζω λίγο τη διαδικασία:(λύση με κουνήματα,"χαζό" μεν-στάνταρ δε)
Επιλέγουμε μεταβλητό σημείο

επί της μεσοκαθέτου της

.Ο κύκλος

τέμνει τις AB,AC

στα

αντίστοιχα.Παίρνουμε

την τομή

και

το αντιδιαμετρικό του

στον

.Ορίζουμε

την τομή

,

εκείνη των O'A,(ABC)

και

το κέντρο του SDE

.
Είναι απλό (Nagel) πως καθώς το

μεταβάλλεται,η

έχει ίδια διεύθυνση.Έπεται (Θαλής) ότι το

κινείται σε ευθεία που περνάει από το

.Η

είναι κάθετη στην

και άρα διατηρεί σταθερή διεύθυνση,δηλαδή $O'\rightarrow X$ προβολική σύνδεση.Το

είναι η τομή του (ABC)

και της εκ του

κάθετου στην

.Άρα $B(M)\rightarrow O(X)$ προβολική σύνδεση.Άρα τελικά $O'\rightarrow M$ προβολική σύνδεση.Απ'την άλλη το

είναι η τομή A'O'

και

άρα και $O'\rightarrow M'$ προβολική σύνδεση.Αρκεί δηλαδή να δειχτεί για 3 θέσεις του

πως τα

ταυτίζονται,κάτι που επιτυγχάνεται εύκολα αν πάρουμε

ώστε $M\equiv A$ , $M \equiv B$ και $M \equiv C$ ..

#3

min## έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2019 11:25 pm
lemmmiquel.png
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση να έχουμε.
Αλλάζω λίγο τη διαδικασία:(λύση με κουνήματα,"χαζό" μεν-στάνταρ δε)
Επιλέγουμε μεταβλητό σημείο επί της μεσοκαθέτου της .Ο κύκλος τέμνει τις στα αντίστοιχα.Παίρνουμε την τομή και το αντιδιαμετρικό του στον .Ορίζουμε την τομή , εκείνη των και το κέντρο του .
Είναι απλό (Nagel) πως καθώς το μεταβάλλεται,η έχει ίδια διεύθυνση.Έπεται (Θαλής) ότι το κινείται σε ευθεία που περνάει από το .Η είναι κάθετη στην και άρα διατηρεί σταθερή διεύθυνση,δηλαδή $O'\rightarrow X$ προβολική σύνδεση.Το είναι η τομή του και της εκ του κάθετου στην .Άρα $B(M)\rightarrow O(X)$ προβολική σύνδεση.Άρα τελικά $O'\rightarrow M$ προβολική σύνδεση.Απ'την άλλη το είναι η τομή και άρα και $O'\rightarrow M'$ προβολική σύνδεση.Αρκεί δηλαδή να δειχτεί για 3 θέσεις του πως τα ταυτίζονται,κάτι που επιτυγχάνεται εύκολα αν πάρουμε ώστε $M\equiv A$ , $M \equiv B$ και $M \equiv C$ ..

Μίνο μας "κούφανες" !!!!!!!....

giannimani · #4

: cycl_miquel.png (86.03 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Το σημείο

είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των

και

,
εποµένως, είναι το ένα από τα δύο σηµεία των δύο ποδηλατιστών (*)

για τους
κύκλους (ADE)

και

. Ως εκ τούτου, το O'OLT

(όπου

το κέντρο του κύκλου (ADE)

,
και

το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων (ADE)

και

, που είναι το σημείο Miquel
του πλήρους τετραπλεύρου BCEDAS

) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Όμως, $OL \bot AT$ (η διακεντρική ευθεία είναι κάθετη στη κοινή χορδή

), και επειδή
$O'T \parallel OL$ , τότε $O'T \bot AT \quad (1)$ .
Από την άλλη μεριά, $\angle ATA' = 90^{\circ} \implies A'T \bot AT\ \quad (2)$ .
Από (1)

και

προκύπτει ότι τα σημεία

,

και

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

(*) (Πρόβλημα των δύο ποδηλατιστών). Δίνονται δύο κύκλοι που τέµνονται στα σηµεία A και
Τ. Δύο ποδηλάτες κινούνται σε αυτούς τους κύκλους µε σταθερές ταχύτητες και µε την ίδια
κατεύθυνση (ή και οι δύο κινούνται δεξιόστροφα, ή και οι δύο αριστερόστροφα). Αν και οι
δύο ξεκινούν ταυτόχρονα από το σηµείο Τ, και µετά από µία πλήρη περιστροφή επιστρέφουν
ταυτόχρονα στο Τ, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σταθερό σηµείο του επιπέδου τέτοιο, ώστε
πάντοτε να ισαπέχει από τους δύο ποδηλάτες.

Αποδεικνύεται ότι, το σημείο των δύο ποδηλατιστών, το αντίστοιχο του σημείου

,
είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων

και

.
Σε οποιοδήποτε ζεύγος τεμνόμενων κύκλων τα σημαντικά σημεία είναι δύο:
το πρώτο είναι το αντίστοιχο του σημείου

, και το δεύτερο είναι το αντίστοιχο του

.
Αυτά τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς τη διακεντρική ευθεία των δύο κύκλων,
και η μεταξύ τους απόσταση ισούται με το μήκος της κοινής χορδής

.
Το σημείο

των δύο ποδηλατιστών, το αντίστοιχο του σημείου

,
είναι η τέταρτη κορυφή του παραλληλόγραμμου OALO'

.
Είναι επίσης, η τέταρτη κορυφή του ισοσκελούς τραπεζίου OLTO'

,
που έχει ως βάσεις τις

και

.

Τα παραπάνω είναι από άρθρο του B. Y. Protasof στο ρώσικο περιοδικό ΚΒΑΝΤ (2008, τεύχος 3).

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2019 10:20 pm
Λήμμα.pngΈστω $\left( O \right)$ ο περίκυκλος τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{O}'} \right)$ τυχαίος κύκλος χορδής που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η διέρχεται από το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου $BCEDAS,S\equiv DE\cap BC$ με το αντιδιαμετρικό του ως προς τον $\left( O \right)$

Στάθης

Υ.Σ. Συγνώμη για το "σχήμα" αλλά στην αλλοδαπή δεν υπάρχουν τα κατάλληλα εργαλεία

Σύμφωνα με την πρόταση ιδιαιτερότητες του σημείου Miquel το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου BCEDAS

είναι το $M\equiv AS\cap \left( O \right),M\ne A$ και ${O}'M\bot AS$ οπότε αν ${A}'\equiv {O}'S\cap \left( O \right),{A}'\ne M$ θα είναι A{A}'

διάμετρος του $\left( O \right)$ και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Re: Στοχεύοντας το σημείο Miquel

Μέλη σε σύνδεση