Καλή από RMM

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Καλή από RMM

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Μάιος 06, 2019 3:44 pm

r.m.m.png
r.m.m.png (49.61 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
Βάζω μια που μου άρεσε πολύ :
Έστω τρίγωνο ABC,I το έκκεντρό του και \omega ο εγγεγραμμένος κύκλος του.Θεωρούμε τον κύκλο που περνάει από τα B,C και εφάπτεται στον \omega τον οποίο ονομάζουμε \omega _{A}.Ομοίως ορίζουμε τους \omega _{B} και \omega _{C}.Αν L το ριζικό κέντρο των \omega _{A},\omega _{B},\omega _{C} ν.δ.ο. L\epsilon IO με O το περίκεντρο του ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Καλή από RMM

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Μάιος 06, 2019 11:54 pm

Καλή!

Έστω D, E, F τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις BC, CA, AB αντίστοιχα. Έστω I_a το παράκεντρο της κορυφής A. Έστω ότι η πολική του I_a στον εγγεγραμμένο κύκλο τέμνει την BC στο S, ενώ η EF τέμνει την BC στο T.

Είναι γνωστό ότι το S είναι το μέσο του DT. Από La Hirre ανήκει και το I_a στην πολική του S, δηλαδή η πολική του S είναι η DI_a, η οποία έστω πως τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο ξανά στο P'. Ισχύει τότε πως η SP' είναι εφαπτομένη στον εγγεγραμμένο.

Έχουμε ακόμη ότι SP'^2=SD^2=SB\cdot SC (η τελευταία σχέση είναι Newton στην αρμονική τετράδα (T, D, B, C), με S μέσο του DT). Άρα η SP' είναι εφαπτομένη στο BP'C. Συνεπώς ο BP'C εφάπτεται στον εγγεγραμμένο, άρα P\equiv P'.

Άρα δείξαμε πως P, D, I_a είναι συνευθειακά, όμοια το ίδιο ισχύει με τις τριάδες Q, E, I_b και R, F, I_c.

Έστω τώρα πως ο κύκλος BPC τέμνει την PD στο U. Ο εγγεγραμμένος εφάπτεται τόσο στον κύκλο BPC στο P όσο και στην BC στο D, άρα από το κλασσικό λήμμα το U είναι μέσο του μικρού τόξου BC, με άλλα λόγια το U βρίσκεται στην μεσοκάθετο του BC.

Έστω D' το σημείο επαφής του παραγεγραμμένου κύκλου της κορυφής A με την BC. Η μεσοκάθετος του BC είναι μεσοκάθετος του DD', επομένως UD=UD'. Όμως το U βρίσκεται στην PD, δηλαδή την DI_a, άρα τελικά το U είναι μέσο της υποτείνουσας DI_a.

Όμοια αν θεωρήσουμε W το σημείο που η QE τέμνει τον κύκλο AQC, τότε το W είναι το μέσο του EI_b.

Ξέρουμε ότι I_aI_b//DE (κάθετες ευθείες στην CI), οπότε αφού U και W, μέσα, έχουμε και ότι UW//DE. Αφού το PEDQ είναι εγγράψιμο, θα είναι λοιπόν και το PWUQ εγγράψιμο (angle chasing), άρα από δύναμη σημείο θα έχουμε ότι το σημείο τομής των PD και QE, έστω L', ανήκει στον ριζικό άξονα των κύκλων BPC και AQC.

Ταυτόχρονα όμως αφού DE//UW, ID//OU, IE//OW, προκύπτει από ομοιοθεσία κέντρου L', ότι τα σημεία L', O, I είναι συνευθειακά.

Για να συνοψίσουμε σύντομα τι έχουμε δείξει μόλις τώρα: Έχουμε δείξει ότι οι PD και QE τέμνονται σε ένα σημείο L', το οποίο είναι στην ευθεία OI. Όμοια τα σημεία τομής της RF με τις ευθείες PD και QE βρίσκονται πάνω στην OI, άρα τελικά οι 3 ευθείες συντρέχουν στο L'. Όμως το L' ανήκει στον ριζικό άξονα των BPC και AQC, άρα όμοια θα βρίσκεται και στον ριζικό άξονα των BPC-ARB και AQC-ARB, τελικά θα είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων, L'\equiv L, άρα το ζητούμενο έπεται!
Συνημμένα
Καλή από RMM.png
Καλή από RMM.png (44.32 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Μάιος 08, 2019 12:37 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Καλή από RMM

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Μάιος 07, 2019 12:00 am

Houston's back! :winner_first_h4h: .Όπως τη βλέπω (περίπου) με αυτό το σκεπτικό την ανέβασα :coolspeak: (ουσιαστικά το L είναι ο πόλος του ριζικού άξονα περιγγεγραμμένου/εγγεγραμμένου ως προς τον εγγεγραμμένο)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης