Λήμμα με Miquel
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Λήμμα με Miquel
Ίσως κι ένα επίπεδο χαμηλότερη:
Υγ.Προέκυψε λύνοντας μια άλλη
Έστω τρίγωνο , τα μέσα των αντίστοιχα και τυχαίες σεβιανές.Έστω .Να δειχτεί πως το σημείο Miquel του βρίσκεται στον (κύκλος Euler).Υγ.Προέκυψε λύνοντας μια άλλη
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Λήμμα με Miquel
Μηνά συμφέρει καλύτερα να δείξω ότι το
είναι εγγράψιμο ή να δείξω ότι το S έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα και γι'αυτό να ανήκει στον κύκλο του Euler
Re: Λήμμα με Miquel
Θα πρότεινα το πρώτο-δηλαδή με εγγράψιμα .(Ίσως όχι το ξέρω γω,αλλά κάτι ανάλογο..)Τείνω να πιστεύω ότι μάλλον είναι κάπως ζόρικο πρόβλημα οπότε όποιος δεν έχει πολύ χρόνο μην τον χαραμίσει .
Re: Λήμμα με Miquel
Παραθέτω μια γρήγορη νομίζω λύση έτσι για να υπάρχει:
Ορίζουμε .
Δείχνουμε πως ο περνάει από το και έχουμε τελειώσει:
Αν δειχθεί αυτό,τότε με ,
θα ισχύει ομοίως πως το ανήκει στον ,δηλαδή θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει και στον .Επίσης ομοίως (όπως στον που έστω ότι δείξαμε) θα ανήκει και στον ,δηλαδή θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει στον .Όμοια θα ανήκει πχ. και στον .Αφού ανήκει και στον (παραπάνω) θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει και στον .Επειδή ανήκει και στον (παραπάνω) θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει και στον κλπ.,,
Ισοδύναμα θέμε να δείξουμε πως οι είναι ομοαξονικοί.
Παίρνουμε σύνθεση αντιστροφής με κέντρο και δύναμη ,και συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο της .
Το πάει στο και αντίστροφα.
Είναι από Θαλή που σημαίνει πως το πάει στο και αντίστροφα.
Έστω το συμ/αντίστροφο του και εκείνο του .
Ο πάει στην ,ο στην και ο στην .
Αρκεί οι 3 αυτές ευθείες να συντρέχουν,δηλαδή αρκεί (αρκεί να είναι προοπτικές σημειοσειρές αφού η τομή των ευθειών που κείτονται.
Τόσο η αντιστροφή όσο και η συμμετρία διατηρούν το διπλό λόγο.Άρα αρκεί δηλαδή .
Επειδή στα παραπάνω υπάρχει το (αντίστροφο του ) ο διπλός λόγος αυτός είναι ο απλός λόγος της υπόλοιπης τριάδας σημείων.Συνεπώς αρκεί δηλαδή από Θαλή το οποίο είναι η σχέση Newton στην αρμονική ... edit:Το αρχικό επιχείρημα
Ορίζουμε .
Δείχνουμε πως ο περνάει από το και έχουμε τελειώσει:
Αν δειχθεί αυτό,τότε με ,
θα ισχύει ομοίως πως το ανήκει στον ,δηλαδή θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει και στον .Επίσης ομοίως (όπως στον που έστω ότι δείξαμε) θα ανήκει και στον ,δηλαδή θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει στον .Όμοια θα ανήκει πχ. και στον .Αφού ανήκει και στον (παραπάνω) θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει και στον .Επειδή ανήκει και στον (παραπάνω) θα είναι το σημείο Miquel του δηλαδή θα ανήκει και στον κλπ.,,
Ισοδύναμα θέμε να δείξουμε πως οι είναι ομοαξονικοί.
Παίρνουμε σύνθεση αντιστροφής με κέντρο και δύναμη ,και συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο της .
Το πάει στο και αντίστροφα.
Είναι από Θαλή που σημαίνει πως το πάει στο και αντίστροφα.
Έστω το συμ/αντίστροφο του και εκείνο του .
Ο πάει στην ,ο στην και ο στην .
Αρκεί οι 3 αυτές ευθείες να συντρέχουν,δηλαδή αρκεί (αρκεί να είναι προοπτικές σημειοσειρές αφού η τομή των ευθειών που κείτονται.
Τόσο η αντιστροφή όσο και η συμμετρία διατηρούν το διπλό λόγο.Άρα αρκεί δηλαδή .
Επειδή στα παραπάνω υπάρχει το (αντίστροφο του ) ο διπλός λόγος αυτός είναι ο απλός λόγος της υπόλοιπης τριάδας σημείων.Συνεπώς αρκεί δηλαδή από Θαλή το οποίο είναι η σχέση Newton στην αρμονική ... edit:Το αρχικό επιχείρημα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες