Ισοσκελές τρίγωνο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Ισοσκελές τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Ιουν 02, 2019 1:40 am

Ισοσκελές τρίγωνο.png
Ισοσκελές τρίγωνο.png (38.67 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές
Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) και τυχόντα σημεία {A}',{B}',{C}' των τόξων BC,CA,AB που δεν περιέχουν τα A,B,C αντίστοιχα. Αν P\equiv AC\cap {A}'{B}',Q\equiv AB\cap {A}'{C}',K\equiv C{C}'\cap A{A}',L\equiv B{B}'\cap A{A}' και M\equiv KP\cap LQ,N\equiv KQ\cap LP να δειχθεί ότι το τρίγωνο \vartriangle SA{A}' είναι ισοσκελές , όπου S\equiv AM\cap {A}'N

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 797
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιουν 02, 2019 4:30 pm

Έστω πως η εφαπτομένη από το A' τέμνει την BC στο N'.

Από Pascal στο A'A'ACBB' έχουμε ότι τα σημεία N', L, P είναι συνευθειακά.

Από Pascal στο A'A'ABCC' έχουμε ότι τα σημεία N', Q, K είναι συνευθειακά.

Άρα το N' είναι τομή της LP και QK, άρα N\equiv N'.

Με άλλα λόγια η NA' είναι εφαπτομένη στον κύκλο (O).

Έστω πως η εφαπτομένη από το A τέμνει την B'C' στο M'.

Από Pascal στο AAA'B'C'C έχουμε ότι τα σημεία M', K, P είναι συνευθειακά.

Από Pascal στο AAA'C'B'B έχουμε ότι τα σημεία M', Q, L είναι συνευθειακά.

Επομένως το M' είναι τομή της KP και QL, άρα M\equiv M'.

Με άλλα λόγια η MA είναι εφαπτομένη στον κύκλο (O).

Το ζητούμενο τώρα έπεται εύκολα.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης