Ισοσκελές τρίγωνο

#1

: Ισοσκελές τρίγωνο.png (38.67 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ και τυχόντα σημεία των τόξων που δεν περιέχουν τα αντίστοιχα. Αν $P\equiv AC\cap {A}'{B}',Q\equiv AB\cap {A}'{C}',K\equiv C{C}'\cap A{A}',L\equiv B{B}'\cap A{A}'$ και $M\equiv KP\cap LQ,N\equiv KQ\cap LP$ να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\vartriangle SA{A}'$ είναι ισοσκελές , όπου $S\equiv AM\cap {A}'N$

Στάθης

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω πως η εφαπτομένη από το

τέμνει την

στο

.

Από

στο

έχουμε ότι τα σημεία N', L, P

είναι συνευθειακά.

Από Pascal

στο

έχουμε ότι τα σημεία N', Q, K

είναι συνευθειακά.

Άρα το

είναι τομή της

και

, άρα $N\equiv N'$ .

Με άλλα λόγια η NA'

είναι εφαπτομένη στον κύκλο (O)

.

Έστω πως η εφαπτομένη από το

τέμνει την B'C'

στο

.

Από

στο

έχουμε ότι τα σημεία M', K, P

είναι συνευθειακά.

Από Pascal

στο

έχουμε ότι τα σημεία M', Q, L

είναι συνευθειακά.

Επομένως το

είναι τομή της

και

, άρα $M\equiv M'$ .

Με άλλα λόγια η

είναι εφαπτομένη στον κύκλο (O)

.

Το ζητούμενο τώρα έπεται εύκολα.

Ισοσκελές τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση