Καθετότητα από την Ιταλία

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Καθετότητα από την Ιταλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 196
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Ιούλ 26, 2019 10:00 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.
Δουλεύω σε σχήμα AB<AC ΚΑΙ N μέσα στο τρίγωνο
Θα τη λύσω με αρμονικότητα. Έστω R\equiv BM\cap AC και από το B φέρνω την παράλληλη του AD που τέμνει την AC στο E. Η δέσμη B(D,A/M,E) είναι αρμονική ( M μέσο AD και BE//AD) Άρα η δέσμη B(C,A/R,E) είναι αρμονική. \widehat{DAC}=_{(BE//AD)}\widehat{BEA}=\widehat{ANR} άρα το AEBN εγγράψιμο \widehat{DAB}=_{(DA//BE)}\widehat{ABE}=_{(AEBN\varepsilon \gamma \gamma .)}=\widehat{ENA}

Τώρα όμως καταλήξαμε ότι \widehat{ENA}=\widehat{ANR}(=\frac{\widehat{ABC}}{2}) και αφού (E,R/A,C) είναι αρμονική τετράδα έχουμε \widehat{ANC}=90^{\circ}\rightarrow AN\perp NC


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6785
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 26, 2019 8:15 pm

Η ανάρτηση αποσύρθηκε αφού παρουσιάζει κενό τεκμηρίωσης .

Ευχαριστώ Το Γιώργο και το Στάθη για την επισήμανση


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιούλ 26, 2019 9:13 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.
Σε μια προσπάθεια να σώσουμε τη χαμένη ανάρτηση του Νίκου (Doloros).
Καθετότητα από την Ιταλία.png
Καθετότητα από την Ιταλία.png (34.17 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές
Ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle AMN τέμνει τις AB,CN στα σημεία K,E αντίστοιχα και προφανώς εφάπτεται της AC στο σημείο A (από \angle ANM=\angle MAC ).
Για το μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο AAMNEK σύμφωνα με το
θεώρημα του Pascal τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του θα είναι συνευθειακά και με C\equiv AA\cap NE,B\equiv MN\cap KA και D\equiv AM\cap BC θα είναι D\equiv AM\cap KE (δηλαδή E,K,D συνευθειακά).
Από \angle AKM=\angle ANM=\angle MAC=\angle MAK\Rightarrow MK=MA=MD\Rightarrow \angle DKA={{90}^{0}}\overset{\angle ANC=\angle DKA(\alpha \pi o\,\,\tau \eta \nu \,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa o\tau \eta \tau \alpha )}{\mathop{\Rightarrow }}\,AN\bot CN


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιούλ 26, 2019 11:58 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.
Καλησπέρα

Θεωρώ τον κύκλο κέντρου K και ακτίνας KA=KC

Είναι \hat{LAE}=\hat{DAC}=\omega, \hat{ANM}=\phi

Υποθέτω ότι AN\perp NC .Θα αποδείξω ότι \hat{\omega }=\hat{\phi }

Εφόσον LK=KC,LE=EC

η KOE είναι μεσοκάθετος στο τμήμα LC,


Ακόμη \hat{ACT}=\phi =\hat{KTC}=\hat{LTK}=\hat{TLK},


δηλαδή τα τρίγωνα LKT,TKC είναι ίσα άρα τα σημεία T,K,O είναι συνευθειακά και

TKO\perp LC,LO=OC και K,O,E είναι συνευθειακά

Συνεπώς το τετράπλευρο ATCE

είναι ορθογώνιο και \hat{AET}=\omega =\hat{ACT}=\phi



Γιάννης
Συνημμένα
Καθετότητα από Ιταλία.png
Καθετότητα από Ιταλία.png (121.14 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8513
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 27, 2019 9:32 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.
Η AD τέμνει τον περίκυκλο του ABC στο E και τον περίκυκλο του BNC στα K, L όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ιταλία.png
Ιταλία.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές
Τα ANM, ABM είναι όμοια, \displaystyle A{M^2} = MN \cdot MB = MK \cdot ML \Leftrightarrow A{M^2} = (MD - DK)(MD + DL)

κι επειδή AM=MD, \displaystyle A{M^2} = (AM - DK)(AM + DL) = A{M^2} + AM(DL - DK) - DK \cdot DL \Leftrightarrow

\displaystyle AM(DL - DK) = DK \cdot DL = BD \cdot DC = AD \cdot DE = 2AM \cdot DE \Leftrightarrow

\displaystyle DL - DK - 2DE = 0 \Leftrightarrow EK = EL. Άρα τα K, L είναι το έγκεντρο και το A-παράκεντρο αντίστοιχα του ABC.

Επομένως, \displaystyle M\widehat NC = B\widehat LC = 90^\circ  - \frac{{\widehat A}}{2} = 90^\circ  - A\widehat NM \Leftrightarrow \boxed{AN\bot NC}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3253
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιούλ 29, 2019 9:57 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.
Καλησπέρα!
sx1.png
sx1.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές
Στο σχήμα 1 έχουμε κατασκευάσει το παραλληλόγραμμο ABDE. Από την ισότητα των «κόκκινων» γωνιών προκύπτει το εγγράψιμο ANDE, το οποίο καθιστά τις «πράσινες» γωνίες ίσες.
sx2.png
sx2.png (34.15 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές
Στο σχήμα 2 φέρω τον περίκυκλο του ABC και θέτω S,T τα αντίστοιχα σημεία τομής του με τις BM,AD. Θέτω ακόμα με P,Q τα αντίστοιχα σημεία τομής της ST με τις AC,CN

Τα τρίγωνα NAM,ABM είναι όμοια (υπόθεση), όπως και τα ADN,CAS και αφού \angle ASC = \angle AND\, \wedge \,\angle PSC = \angle ANM, η SP θα είναι διάμεσος του  \triangleleft CAS

Λόγω παραλληλίας των ST,AN το Q θα είναι μέσο της CN. Έτσι SQ διάμεσος και διχοτόμος του  \triangleleft SCN, άρα και ύψος, οπότε το ζητούμενο έπεται άμεσα.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6785
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιούλ 29, 2019 10:21 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 9:57 pm
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.
Καλησπέρα!sx1.pngΣτο σχήμα 1 έχουμε κατασκευάσει το παραλληλόγραμμο ABDE. Από την ισότητα των «κόκκινων» γωνιών προκύπτει το εγγράψιμο ANDE, το οποίο καθιστά τις «πράσινες» γωνίες ίσες.
sx2.pngΣτο σχήμα 2 φέρω τον περίκυκλο του ABC και θέτω S,T τα αντίστοιχα σημεία τομής του με τις BM,AD. Θέτω ακόμα με P,Q τα αντίστοιχα σημεία τομής της ST με τις AC,CN

Τα τρίγωνα NAM,ABM είναι όμοια (υπόθεση), όπως και τα ADN,CAS και αφού \angle ASC = \angle AND\, \wedge \,\angle PSC = \angle ANM, η SP θα είναι διάμεσος του  \triangleleft CAS

Λόγω παραλληλίας των ST,AN το Q θα είναι μέσο της CN. Έτσι SQ διάμεσος και διχοτόμος του  \triangleleft SCN, άρα και ύψος, οπότε το ζητούμενο έπεται άμεσα.
Εκπληκτική λύση με "αγνά" υλικά :clap2:

Προφανώς ευχαριστώ και το Στάθη που με "ξελάσπωσε" με την αεροπλανική του λύση . :clap2:

Οπωσδήποτε προκαλεί αίσθηση και η λύση του Γιώργου με την απλότητα της

( ως συνήθως όλα τα απλοποιεί ο Γιώργος όσο μπερδεμένα και να είναι )
:clap2:

Του Γιάννη δεν την μελέτησα ακόμα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιούλ 31, 2019 4:11 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Παρ Ιούλ 26, 2019 8:55 am
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC φέρουμε τη διχομόμο AD και έστω M το μέσο του AD.Στο τμήμα BM παίρνουμε σημείο  N ,

ώστε \angle ANM=\angle DAC.

Να αποδειχθεί ότι  AN\perp NC.

Είναι προφανής η ισότητα των γωνιών \displaystyle ABN,NAM κι έστω \displaystyle \phi η κάθε μια

Η \displaystyle AD τέμνει τον κύκλο \displaystyle (A,B,C) στο \displaystyle Z και \displaystyle \angle BCZ = CBZ = \frac{A}{2} κι έστω \displaystyle CZ \cap AN = K

Η παράλληλη από το \displaystyle A στην \displaystyle BM τέμνει την \displaystyle CB στο \displaystyle E,οπότε \displaystyle \angle EAB = \phi και \displaystyle \angle EAK = \frac{A}{2} .

Άρα \displaystyle AEKC εγγράψιμο ,συνεπώς οι μπλε γωνίες είναι ίσες κι έτσι \displaystyle NCKB είναι εγγράψιμο.

Το \displaystyle B μέσον της \displaystyle ED.Από την ομοιότητα των τριγώνων \displaystyle AEZ,AKZ \Rightarrow \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AK}}{{KZ}}

Από την ομοιότητα των τριγώνων \displaystyle ABD,AZC \Rightarrow \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{ZC}}{{AB}}

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη παίρνουμε \displaystyle \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AZ}} \cdot \frac{{ZC}}{{KZ}}.Αλλά \displaystyle \vartriangle AEB \simeq \vartriangle AKZ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AZ}} οπότε \displaystyle \frac{{ZC}}{{KZ}} = 1

Έτσι, \displaystyle Z μέσον της \displaystyle KC,άρα \displaystyle CZ = ZK = BZ \Rightarrow KB \bot BC \Rightarrow CN \bot AN
Καθετότητα από την Ιταλία.png
Καθετότητα από την Ιταλία.png (54.9 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης