Κβαντ 2553

Al.Koutsouridis · #1

Συμβολίζουμε με

το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου ABC

, με $A_{1}$ , $B_{1}$ και $C_{1}$ τα σημεία επαφής του με τις πλευρές

,

και

αντίστοιχα, με

και

τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τετράπλευρων $BC_{1}IA_{1}$ και $CB_{1}IA_{1}$ αντίστοιχα, με

τη βάση του ύψους που φέρεται από την κορυφή

. Η διχοτόμος της γωνίας BHA

τέμνει την ευθεία $A_{1}B_{1}$ στο σημείο

και η διχοτόμος της γωνίας CHA

τέμνει την ευθεία $A_{1}C_{1}$ στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου KLP

.

: kvant2553.png (23.52 KiB) Προβλήθηκε 1346 φορές

Πηγή: περιοδικό Κβαντ, τεύχος Μαρτίου 2019.

miltosk · #2

Καλησπέρα. Έχω βρει μια λύση με μιγαδικούς μέσω των γωνιών (των 45 μοιρών) αλλά έχει πάρα πολλές πράξεις. Μήπως έχει κάποιος μια πιο γεωμετρική λύση;
Πιο συγκεκριμενα:
Έστω ο εγγεγραμμένος ο μοναδιαίος κύκλος και

η αρχή των μιγαδικών. Σε κάθε σημείο (έστω

) αντιστοιχεί ο μιγαδικός με το αντίστοιχο μικρό γράμμα (

).Έστω ακόμα ότι i=a_1

(μπορώ να το θεωρήσω καθώς το

ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο.
Γνωστά είναι τα εξής:
$A_1 \rightarrow a_1, B_1 \rightarrow b_1, C_1 \rightarrow c_1$
Προκύπτουν έτσι:
$A \rightarrow a=\frac{2b_1c_1}{b_1+c_1}, B \rightarrow b=\frac{2a_1c_1}{a_1+c_1}, C \rightarrow c=\frac{2b_1a_1}{a_1+c_1}$
Χρησιμοποιώ τον τύπο (από δω και στο εξής αφού τετραγωνίσω τον ονομάζω απλά ΤΥΠΟ):
Αν $f=\widehat{abc}$ τότε: $\frac{b-c}{\mid b-c\mid}=e^{if}\cdot\frac{b-a}{\mid b-a \mid}$
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνω:
$\frac{b-c}{\bar{b}-\bar{c}}=e^{2if}\cdot\frac{b-a}{\bar{b}-\bar{a}}$
Από τον ΤΥΠΟ και την συνευθειακότητα των I,L,C

και

υπολογίζω τα

και

:
$l=\frac{i(i-1)b_1c_1}{b_1c_1+1}$
$k=\frac{(i+1)c_1}{c_1+1}$
Αφού υπολογίσω το

(χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το

ανήκει στη

και ότι $AH\perp BC$ ):
$h=\frac{2b_1c_1+1+2i(b_1+c_1)}{2(b_1+c_1)}$
με ίδιο τρόπο με πριν χρησιμοποιώντας τον ΤΥΠΟ και τη συνευθειακότητας των C_1, Q, A_1

και

υπολογίζω τα p,q

:
$p=\frac{b_1(h+i\bar{h})-i+b_1}{b_1+1}$
$q=\frac{c_1(h-i\bar{h})+c_1+i}{c_1+1}$
Έστω

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου KPL

. Πλέον από το γεγονός ότι: $\mid o-k\mid=\mid o-l\mid=\mid o-p\mid$ υψώνοντας 2 από αυτές τις ισότητες στο τετράγωνο (με μεγάλη επιφύλαξη λέω αυτό τον ισχυρισμό καθώς εδώ τίθεται το ερώτημα -που δεν γνωρίζω αν ισχύει αλλά έτσι φαίνεται- αν γνωρίζω 3 σημεία ενός κύκλου μπορώ να προσδιορίσω και το κέντρο του;) υπολογίζω το

Κάνοντας τέλος τις πράξεις αρκεί q=k+l+p-2o

.
Παρακαλώ αν μπορεί κάποιος να την ελέγξει (πιο πολύ την ιδέα θα με ενδιέφερε και όχι τόσο τις πράξεις). Ενδέχεται να υπάρχουν κάποια λάθη στις πράξεις (με κούρασαν κάμποσο και γι αυτό δεν είναι τόσο αναλυτική η λύση).

Κβαντ 2553

Κβαντ 2553

Re: Κβαντ 2553

Μέλη σε σύνδεση