Κβαντ 2553
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κβαντ 2553
Συμβολίζουμε με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου , με , και τα σημεία επαφής του με τις πλευρές , και αντίστοιχα, με και τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τετράπλευρων και αντίστοιχα, με τη βάση του ύψους που φέρεται από την κορυφή . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την ευθεία στο σημείο και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Πηγή: περιοδικό Κβαντ, τεύχος Μαρτίου 2019.
Πηγή: περιοδικό Κβαντ, τεύχος Μαρτίου 2019.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κβαντ 2553
Καλησπέρα. Έχω βρει μια λύση με μιγαδικούς μέσω των γωνιών (των 45 μοιρών) αλλά έχει πάρα πολλές πράξεις. Μήπως έχει κάποιος μια πιο γεωμετρική λύση;
Πιο συγκεκριμενα:
Έστω ο εγγεγραμμένος ο μοναδιαίος κύκλος και η αρχή των μιγαδικών. Σε κάθε σημείο (έστω ) αντιστοιχεί ο μιγαδικός με το αντίστοιχο μικρό γράμμα ().Έστω ακόμα ότι (μπορώ να το θεωρήσω καθώς το ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο.
Γνωστά είναι τα εξής:
Προκύπτουν έτσι:
Χρησιμοποιώ τον τύπο (από δω και στο εξής αφού τετραγωνίσω τον ονομάζω απλά ΤΥΠΟ):
Αν τότε:
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνω:
Από τον ΤΥΠΟ και την συνευθειακότητα των και υπολογίζω τα και :
Αφού υπολογίσω το (χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το ανήκει στη και ότι ):
με ίδιο τρόπο με πριν χρησιμοποιώντας τον ΤΥΠΟ και τη συνευθειακότητας των και υπολογίζω τα :
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Πλέον από το γεγονός ότι: υψώνοντας 2 από αυτές τις ισότητες στο τετράγωνο (με μεγάλη επιφύλαξη λέω αυτό τον ισχυρισμό καθώς εδώ τίθεται το ερώτημα -που δεν γνωρίζω αν ισχύει αλλά έτσι φαίνεται- αν γνωρίζω 3 σημεία ενός κύκλου μπορώ να προσδιορίσω και το κέντρο του;) υπολογίζω το
Κάνοντας τέλος τις πράξεις αρκεί .
Παρακαλώ αν μπορεί κάποιος να την ελέγξει (πιο πολύ την ιδέα θα με ενδιέφερε και όχι τόσο τις πράξεις). Ενδέχεται να υπάρχουν κάποια λάθη στις πράξεις (με κούρασαν κάμποσο και γι αυτό δεν είναι τόσο αναλυτική η λύση).
Πιο συγκεκριμενα:
Έστω ο εγγεγραμμένος ο μοναδιαίος κύκλος και η αρχή των μιγαδικών. Σε κάθε σημείο (έστω ) αντιστοιχεί ο μιγαδικός με το αντίστοιχο μικρό γράμμα ().Έστω ακόμα ότι (μπορώ να το θεωρήσω καθώς το ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο.
Γνωστά είναι τα εξής:
Προκύπτουν έτσι:
Χρησιμοποιώ τον τύπο (από δω και στο εξής αφού τετραγωνίσω τον ονομάζω απλά ΤΥΠΟ):
Αν τότε:
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνω:
Από τον ΤΥΠΟ και την συνευθειακότητα των και υπολογίζω τα και :
Αφού υπολογίσω το (χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το ανήκει στη και ότι ):
με ίδιο τρόπο με πριν χρησιμοποιώντας τον ΤΥΠΟ και τη συνευθειακότητας των και υπολογίζω τα :
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Πλέον από το γεγονός ότι: υψώνοντας 2 από αυτές τις ισότητες στο τετράγωνο (με μεγάλη επιφύλαξη λέω αυτό τον ισχυρισμό καθώς εδώ τίθεται το ερώτημα -που δεν γνωρίζω αν ισχύει αλλά έτσι φαίνεται- αν γνωρίζω 3 σημεία ενός κύκλου μπορώ να προσδιορίσω και το κέντρο του;) υπολογίζω το
Κάνοντας τέλος τις πράξεις αρκεί .
Παρακαλώ αν μπορεί κάποιος να την ελέγξει (πιο πολύ την ιδέα θα με ενδιέφερε και όχι τόσο τις πράξεις). Ενδέχεται να υπάρχουν κάποια λάθη στις πράξεις (με κούρασαν κάμποσο και γι αυτό δεν είναι τόσο αναλυτική η λύση).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης