ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σήμερα το απόγευμα κατέληξα σε μια ανισότητα την οποία και σας προτείνω.

Σε τρίγωνο ABC

ισχύει ότι

$\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{10-\frac{2r}{R}}$

Ορέστης Λιγνός · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 17, 2019 9:43 pm
Σήμερα το απόγευμα κατέληξα σε μια ανισότητα την οποία και σας προτείνω.

Σε τρίγωνο ισχύει ότι

$\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{10-\frac{2r}{R}}$

Καλησπέρα κ. Τηλέμαχε!

Από Cauchy - Schwarz έχουμε $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$ .

Είναι όμως, a+b+c=2s

και

(με

συμβολίζω την ημιπερίμετρο)

Άρα, αρκεί $\dfrac{4s^2}{s^2+r^2+4Rr} \geqslant \sqrt{10-\dfrac{2r}{R}}$ .

Έστω, $f(x)=\dfrac{4x}{x+r^2+4Rr}$ , με x>0

. Είναι, $f'(x)=\dfrac{4r^2+16Rr}{(x+r^2+4Rr)^2}>0$ , άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

Ακόμη, από γνωστή ανισότητα $s^2 \geqslant 16Rr-5r^2$ , και άρα $f(s^2) \geqslant f(16Rr-5r^2)=\dfrac{16Rr-5r^2}{5Rr-r^2}=\dfrac{16R-5r}{5R-r}$ .

Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\dfrac{16R-5r}{5R-r} \geqslant \sqrt{10-\dfrac{2r}{R}}$ (1).

Έστω, $k=\dfrac{R}{2r}$ . Από την ανισότητα Euler, $R \geqslant 2r$ , άρα $k \geqslant 1$ .

Η (1) γράφεται $\dfrac{32k-5}{10k-1} \geqslant \sqrt{10-\dfrac{1}{k}}$ που γράφεται $(k-1)(24k^2+4k-1) \geqslant 0$ , που είναι προφανής για $k \geqslant 1$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Ας δούμε το πώς σκέφτηκα , το πώς κατέληξα στην ανισότητα αυτή.

Ξεκίνησα από την παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=19&t=42734&hilit=98
''Ας εφαρμόσω αυτήν την ανισότητα , να δω τι θα προκύψει...'' , έτσι σκέφτηκα...

$\displaystyle\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq \left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )\Leftrightarrow\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq 2s\cdot \frac{ab+bc+ca}{abc}\Leftrightarrow$

$\displaystyle\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq 2s\cdot \frac{s^{2}+r^{2}+4Rr}{4srR}\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq \frac{s^{2}+r^{2}+4Rr}{2rR}$

Θυμήθηκα ότι $s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}$

Άρα λοιπόν $\displaystyle\frac{s^{2}+r^{2}+4Rr}{2rR}\geq \frac{16Rr-5r^{2}+r^{2}+4Rr}{2rR}\Leftrightarrow \frac{s^{2}+r^{2}+4Rr}{2rR}\geq \frac{20Rr-4r^{2}}{2rR}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{s^{2}+r^{2}+4Rr}{2rR}\geq 10-\frac{2r}{R}$

Έτσι λοιπόν $\displaystyle\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq 10-\frac{2r}{R}$ και έτσι

$\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right \geq\sqrt{10-\frac{2r}{R}$

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗΣ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗΣ

Μέλη σε σύνδεση