Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
Έστω εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
Να δείξετε ότι: Πότε ισχύει η ισότητα;
Να δείξετε ότι: Πότε ισχύει η ισότητα;
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
Η απόδειξη σχετίζεται με την απόδειξη της ανισότητας Erdős–Mordell.
Όπως φαίνεται στο σχήμα, ας είναι οι αποστάσεις του σημείου από τις πλευρές αντίστοιχα.
Ας είναι ακόμα σημεία
Τότε έχουμε το
Λήμμα:
Η απόδειξη είναι άμεση:
όπου η γωνία των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
Επίσης, είναι
Από τις σχέσεις αυτές λαμβάνουμε τη ζητούμενη.
Πάμε τώρα στο ψητό.
Εφαρμόζουμε την ανισότητα του λήμματος για τα σημεία που ορίζονται από τις σχέσεις οπότε προκύπτει
, άρα
Με ανάλογο τρόπο λαμβάνουμε τις σχέσεις
Επομένως έχουμε
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 08, 2020 6:20 pmΈστω εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
Να δείξετε ότι: Πότε ισχύει η ισότητα;
Θεωρούμε επί των τα σημεία αντίστοιχα ώστε οπότε και
Έστω και . Ισχύει,
Άρα και εργαζόμενοι όμοια έχουμε , και
Τα υπόλοιπα τα είπε ο Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας
Απλά θέλω να επισημάνω ότι πρόκειται για το θέμα 430 από το περίφημο αρχείο του Θάνου Μάγκου...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες