Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

#1

Έστω

εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου ABC

και

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Να δείξετε ότι: $\displaystyle \frac{{PA}}{{{a^2}}} + \frac{{PB}}{{{b^2}}} + \frac{{PC}}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{R}.$ Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

: T2.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Έμεινε αναπάντητη για μερικές μέρες, οπότε βάζω μια απόδειξη σε αυτή την ανισότητα που αποτέλεσε θέμα του τεστ επιλογής στις Η.Π.Α. για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2000 και προτάθηκε από τον Ρουμάνο στο Τέξας, ήτοι τον $\displaystyle{T_2}$ .

Η απόδειξη σχετίζεται με την απόδειξη της ανισότητας Erdős–Mordell.

Όπως φαίνεται στο σχήμα, ας είναι $\displaystyle{u,v,w}$ οι αποστάσεις του σημείου $\displaystyle{P}$ από τις πλευρές $\displaystyle{BC,CA,AB,}$ αντίστοιχα.
Ας είναι ακόμα σημεία $\displaystyle{B_1\in AB, C_1 \in CA.}$

Τότε έχουμε το

Λήμμα:
$\displaystyle{\boxed{\rm PA\cdot B_1C_1\geq wAB_1+vAC_1}}$

Η απόδειξη είναι άμεση:

$\displaystyle{(AB_1PC_1)=\frac{1}{2}AP\cdot B_1C_1 \sin \omega\leq \frac{1}{2}AP\cdot B_1C_1 ,}$ όπου $\displaystyle{\omega}$ η γωνία των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
Επίσης, είναι

$\displaystyle{(AB_1PC_1)=(AB_1P)+(AC_1P)=\frac{1}{2}AB_1w+\frac{1}{2}AC_1v.}$

Από τις σχέσεις αυτές λαμβάνουμε τη ζητούμενη.

$\displaystyle{\rule{400pt}{3pt}}$

Πάμε τώρα στο ψητό.

Εφαρμόζουμε την ανισότητα του λήμματος για τα σημεία $\displaystyle{B_1,C_1}$ που ορίζονται από τις σχέσεις $\displaystyle{AB_1=AC, AC_1 =AB,}$ οπότε προκύπτει

$\displaystyle{aPA\geq bw+cv}$ , άρα

$\displaystyle{\frac{PA}{a^2}\geq \frac{bw}{a^3}+\frac{cv}{a^3}.}$

Με ανάλογο τρόπο λαμβάνουμε τις σχέσεις

$\displaystyle{\frac{PB}{b^2}\geq \frac{aw}{b^3}+\frac{cu}{b^3},~~\frac{PC}{c^2}\geq \frac{av}{c^3}+\frac{bu}{c^3}.}$

Επομένως έχουμε

$\displaystyle{\frac{PA}{a^2}+\frac{PB}{b^2}+\frac{PC}{c^2}\geq \left(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{a^3}\right)w+\left(\frac{c}{b^3}+\frac{b}{c^3}\right)u+\left(\frac{a}{c^3}+\frac{c}{a^3}\right)v\geq}$

$\displaystyle{\geq \frac{2w}{ab}+\frac{2u}{bc}+\frac{2v}{ca}=\frac{2(cw+au+bv)}{abc}=\frac{4(ABC)}{abc}=\frac{1}{R}.}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 08, 2020 6:20 pm
Έστω εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Να δείξετε ότι: $\displaystyle \frac{{PA}}{{{a^2}}} + \frac{{PB}}{{{b^2}}} + \frac{{PC}}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{R}.$ Πότε ισχύει η ισότητα;

Θεωρούμε επί των AB,AC

τα σημεία

αντίστοιχα ώστε AI=b,AK=c

οπότε $\triangle ABC= \triangle AIK$ και IK=a

Έστω $AM= \upsilon _{ \alpha }$ και $PL \bot IK, PH \bot AC,PZ \bot AB , PE \bot BC$ . Ισχύει,

$AP+PL \geq \upsilon _{ \alpha } \Rightarrow \alpha . AP+ \alpha . PL \geq 2(AIK)=2(PIK)+2(APK)+2(API)= \alpha . PL+b . PZ+c . PH$

Άρα $\alpha . AP \geq b . PZ+c . PH$ και εργαζόμενοι όμοια έχουμε , $b . BP \geq \alpha . PZ+c . PE$ και $c . PC \geq \alpha . PH+b . PE$

Τα υπόλοιπα τα είπε ο Θάνος

: Τέξας.png (10.65 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Απλά θέλω να επισημάνω ότι πρόκειται για το θέμα 430 από το περίφημο αρχείο του Θάνου Μάγκου...

Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

Re: Από ένα Ρουμάνο στο Τέξας

Μέλη σε σύνδεση