Έλλειψη, υπερβολή και διχοτόμος

[Al.Koutsouridis]

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή , και είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία και , έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο . (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο .) Θεωρούμε ημιευθεία με αρχή το σημείο , που τέμνει την έλλειψη και τον κλάδο της υπερβολής στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι το τμήμα σχηματίζει ίσες γωνίες με τα τμήματα και .

ellipse_hyperbola_bisector.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 958 φορές

Πηγή: Γκαλπερίν, Πλάχοβ. Ένα γεωμετρικό πρόβλημα που οδηγεί σε μπιλιαρδοειδείς κανόνες ανάκλασης. "Μαθηματική Εκπαίδευση" τεύχος 16, 2011.

[rek2]

Ας βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε:

Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα τέμνονται στο

Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα τέμνονται στο

Τα σημεία είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας ) που τέμνεται με την στο .

Τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των , που δίνει το ζητούμενο.

[KDORTSI]

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή , και είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία και , έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο . (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο .) Θεωρούμε ημιευθεία με αρχή το σημείο , που τέμνει την έλλειψη και τον κλάδο της υπερβολής στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι το τμήμα σχηματίζει ίσες γωνίες με τα τμήματα και .

Ας βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε:

Οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα τέμνονται στο

Οι εφαπτόμενες της υπερβολής στα τέμνονται στο

Τα σημεία είναι στην ίδια ευθεία (την διχοτόμο της γωνίας ) που τέμνεται με την στο .

Τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των , που δίνει το ζητούμενο.

Κώστα καλημέρα από Γρεβενά...

Αναρτώ ένα σχήμα, καθώς το ζήτησες, στη λακωνική και ορθότατη λύση σου.

rek 1.png (34.2 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Κώστας Δόρτσιος

[Al.Koutsouridis]

Όμορφη η αντιμετώπιση από τον κ.Ρεκούμη. Οι επιμέρους προτάσεις μπορεί να χρησιμοποιηθούν και για άλλα προβλήματα ίσως καλό θα ήταν να δούμε τις αποδείξεις τους ξεχωριστά (αν δεν υπάρχουν ήδη στο ).

Αξιοσημείωτη είναι η οπτική ιδιότητα που δημιουργείται από ένα τέτοιο σχήμα. Το καμπυλόγραμμο τρίγωνο είναι αόρατο σε ένα παρατηρητή που βρίσκεται στην εστία . Αν υποθέσουμε ότι το τρίγωνο είναι καθρέφτης και επίσης καθρέφτης υπάρχει γύρο από την εστία . Μάλιστα οτιδήποτε υπάρχει «πίσω» από το τρίγωνο φαίνεται στον παρατηρητή χωρίς διάθλαση.

ellipse_hyperbola_bisector_optical.png (29.98 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

[rek2]

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την ορθή γωνία να αντιστοιχεί στην κορυφή , και είναι συνεστιακές, με εστίες τα σημεία και , έλλειψη και υπερβολή που διερχόνται από το σημείο . (Εξετάζουμε μόνο τον ένα κλάδο της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο .) Θεωρούμε ημιευθεία με αρχή το σημείο , που τέμνει την έλλειψη και τον κλάδο της υπερβολής στα σημεία και . Να αποδείξετε ότι το τμήμα σχηματίζει ίσες γωνίες με τα τμήματα και .

Ας βάλει κάποιος σχήμα και συνεχίζω! Σαν υπόδειξη έχουμε:

Κώστα καλημέρα από Γρεβενά...

Αναρτώ ένα σχήμα, καθώς το ζήτησες, στη λακωνική και ορθότατη λύση σου.


rek 1.png


Κώστας Δόρτσιος

Ευχαριστώ Φίλε!!

Να είσαι πάντα καλά!

Να σε διαβάζουμε, να μαθαίνουμε από σένα!!