Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

#1

Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους.

Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$ , οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα $A,\ D$ , σημεία του κύκλου . Έστω τα τυχόντα σημεία $E,\ F$ επί της , ώστε να είναι και ας είναι το μεταξύ των $D,\ M$ , όπου είναι το μέσον του . Οι δια των σημείων $E,\ F$ εφαπτόμενες των κύκλων $(K),\ (L)$ , τέμνουν την στα σημεία $P,\ Q$ , αντιστοίχως. Οι δια των σημείων $Q,\ P$ εφαπτόμενες των κύκλων $(K),\ (L)$ , τέμνουν την στα σημεία $S,\ T$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι .

: Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.; f 185_t 68691.PNG (34.9 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν έχει εμφανιστεί κάποια συνθετική απόδειξη ( το πρόβλημα είναι πρόσφατο ) μέχρι τώρα και αυτή που έχω υπόψη μου, δεν έχει ακόμα αναρτηθεί.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

vittasko έγραψε: Πέμ Δεκ 31, 2020 3:01 pm Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους.

Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$ , οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα $A,\ D$ , σημεία του κύκλου . Έστω τα τυχόντα σημεία $E,\ F$ επί της , ώστε να είναι και ας είναι το μεταξύ των $D,\ M$ , όπου είναι το μέσον του . Οι δια των σημείων $E,\ F$ εφαπτόμενες των κύκλων $(K),\ (L)$ , τέμνουν την στα σημεία $P,\ Q$ , αντιστοίχως. Οι δια των σημείων $Q,\ P$ εφαπτόμενες των κύκλων $(K),\ (L)$ , τέμνουν την στα σημεία $S,\ T$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι .
f 185_t 68691.PNG
Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν έχει εμφανιστεί κάποια συνθετική απόδειξη ( το πρόβλημα είναι πρόσφατο ) μέχρι τώρα και αυτή που έχω υπόψη μου, δεν έχει ακόμα αναρτηθεί.

Μία λύση με προβολική:

: 16.PNG (31.48 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Κουνάω το

στην ευθεία

Αρχικά η $E\rightarrow P$ είναι προβολικότητα.
Απόδειξη : Έστω

το αντίστροφο του

στον κόκκινο κύκλο.Έχουμε $E\rightarrow E'\rightarrow DE'\rightarrow W\rightarrow AW\rightarrow AF'\rightarrow P$ προβολικές συνδέσεις οπότε πράγματι ισχύει.
Έχω λοιπόν ότι $E\rightarrow P\rightarrow T$ προβολική σύνδεση.
Επίσης η $E\rightarrow F\rightarrow Q\rightarrow S\rightarrow T_1$ θα είναι προβολική σύνδεση με T_1

το συμμετρικό του

προς το

.
Θέλουμε $T_1\equiv T$ οπότε αρκεί να το δείξουμε για τρεις θέσεις του

αφού τότε οι προβολικότητες θα ταυτίζονται.
Τις πρώτες δύο:

: 17.PNG (35.12 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Όταν η

γίνει μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τότε λόγω συμμετρίας (οι εσωτερικές εφαπτομένες τέμνονται πάνω στην διάκεντρο κλπ) η

θα είναι η άλλη οπότε $E \equiv S,F\equiv T$ άρα είμαστε εντάξει.
Επίσης εναλλάσοντας τις θέσεις των E,F

στο πάνω σχήμα παίρνουμε και μία δεύτερη θέση για το

και μας μένει μία ακόμη.
Όταν E=D

τότε $P\equiv DC\cap AB$ και S=C

και

(δείτε το οριακά μίας και έχουμε ταυτιζόμενες ευθείες) οπότε τελειώσαμε.

Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

Re: Άνισοι κύκλοι εκτός αλλήλων.

Μέλη σε σύνδεση