ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Κώστα, Σωτήρη και λοιποί,
καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή!
Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κείνται επί της ευθείας, βρίσκονται στην ίδια πλευρά της, και, λιγότερο εύλογα, δεν ορίζουν ευθεία παράλληλη προς αυτήν: αυτό προκύπτει από την γεωμετρική παρατήρηση ότι τυχούσα ευθεία διερχόμενη δια σημείου 'εντός' της παραβολής και μη παράλληλη προς τον άξονα της τέμνει -- υποχρεωτικά λόγω διαρκώς αυξανόμενων κλίσεων των κλάδων της -- την παραβολή σε δύο σημεία ... και μπορεί να αποδειχθεί και αναλυτικά.
Πράγματι, επιλέγοντας για την ευθεία να είναι η και για τα σημεία να είναι τα , , όπου , , , αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η παραβολή των σημείων που ισαπέχουν από το και από την και η μεσοκάθετος των τέμνονται υποχρεωτικά σε ΔΥΟ σημεία: από τις αντίστοιχες εξισώσεις παραβολής και μεσοκαθέτου, και , προκύπτει για την τομή τους η δευτεροβάθμια
με διακρίνουσα ίση προς
καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή!
Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κείνται επί της ευθείας, βρίσκονται στην ίδια πλευρά της, και, λιγότερο εύλογα, δεν ορίζουν ευθεία παράλληλη προς αυτήν: αυτό προκύπτει από την γεωμετρική παρατήρηση ότι τυχούσα ευθεία διερχόμενη δια σημείου 'εντός' της παραβολής και μη παράλληλη προς τον άξονα της τέμνει -- υποχρεωτικά λόγω διαρκώς αυξανόμενων κλίσεων των κλάδων της -- την παραβολή σε δύο σημεία ... και μπορεί να αποδειχθεί και αναλυτικά.
Πράγματι, επιλέγοντας για την ευθεία να είναι η και για τα σημεία να είναι τα , , όπου , , , αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η παραβολή των σημείων που ισαπέχουν από το και από την και η μεσοκάθετος των τέμνονται υποχρεωτικά σε ΔΥΟ σημεία: από τις αντίστοιχες εξισώσεις παραβολής και μεσοκαθέτου, και , προκύπτει για την τομή τους η δευτεροβάθμια
με διακρίνουσα ίση προς
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Υπενθυμίζω ότι ακριβώς το ίδιο συμπέρασμα ισχύει και για την τριδιάστατη περίπτωση (πρόβλημα #3 του Σωτήρη): ΔΥΟ σφαίρες εφαπτόμενες στο και περιέχουσες το ... υπό τον όρο ότι τα κείνται εκτός του και στην ίδια πλευρά του, και ότι το επίπεδο του δεν είναι παράλληλο προς το (η περίπτωση αυτή είναι το πρόβλημα #2 του Σωτήρη, με μία ακριβώς λύση). Έχει δοθεί πλήρης αιτιολόγηση, δείτε τύπο και προκύπτον σχήμα δημοσίευσης #11.gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Φεβ 01, 2021 4:45 pmΚώστα, Σωτήρη και λοιποί,
καλή εβδομάδα και καλό μήνα εύχομαι, ήταν μια όμορφη συζήτηση αυτή!
Σχετικά με την διδιάστατη περίπτωση και τα γραφόμενα του Κώστα στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#20) θα ήθελα να παρατηρήσω ότι έχουμε πάντοτε δύο λύσεις ... υποθέτοντας εύλογα ότι τα δύο σημεία δεν κείνται επί της ευθείας, βρίσκονται στην ίδια πλευρά της, και, λιγότερο εύλογα, δεν ορίζουν ευθεία παράλληλη προς αυτήν:
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Η κρίσιμη αυτή συνθήκη ισοδυναμεί, όπως υποδεικνύει το συνημμένο (και πολύ απλή τριγωνομετρία, κλπ), με τον περίκυκλο του να εφάπτεται του επιπέδου (): στην περίπτωση αυτή και μόνον οι δύο κύκλοι του Σωτήρη -- που μας έδειξε υπέροχα ο Κώστας -- εφάπτονται αλλήλων και η αναζητούμενη σφαίρα είναι μοναδική, με ακτίνα , κέντρο επί της και σε απόσταση από το περίκεντρο του (και υποχρεωτικά προς τον μακράν του επιπέδου ημιχώρο), και σημείο επαφής με το επίπεδο ταυτιζόμενο με το σημείο επαφής του περίκυκλου του με το επίπεδο .gbaloglou έγραψε: ↑Τρί Ιαν 26, 2021 12:33 pmΚαλημέρα Γιώργο.
Ίσως η «εμμονή» μου για τον χώρο να πηγάζει από το πάλαι ποτέ ρηθέν: «Αν δεν κοιτάξεις το σπίτι σου, τότε, θα πέσει και θα σε πλακώσει» (Ψυχολογία βάθους γαρ).
Για το τρίτο τώρα ερώτημα σκέφτηκα εν τάχει ως εξής:
............................................................
...........................................
[/quote]
Γιώργο καλημέρα...
Αναρτώ και την περίπτωση που περιγράφεις ανωτέρω,
δηλαδή το σχήμα που αναφέρεται όταν οι δυο κύκλοι της κατασκευής του Σωτήρη εφάπτονται
και όπως ορθά αναφέρεις έχουμε μοναδική λύση.
Κώστας Δόρτσιος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Γειά σας.
Καταρχάς αλλά κυρίως Καταρχήν: Είναι καθαρό, ότι για το παραπάνω Επιστημονικό Υπέρ-Άριστο οδοιπορικό από τον Κώστα και τον Γιώργο το μόνο που έχω να πω είναι ένα τεράστιο ευχαριστώ που ασχολήθηκαν σε υψηλό επίπεδο με βάση την τριλογία που πρότεινα.
Επιτρέψτε μου τώρα την διερευνητική μου σκέψη για το τρίτο ερώτημα με βάση την διαπραγμάτευση μου που παρουσίασα εξ αρχής και είναι η:
Στο σχήμα , που είναι εύκολο να αποδείξουμε την ύπαρξη (με το να είναι εγγεγραμμένο), συνεπικουρούμενοι από το σημείο Miquel, έστω το δύο κύκλων που να τέμνονται σε δύο σημεία και αυτό επειδή, (Το τετράπλευρο το θεωρήσαμε εγγράψιμο απλά για να πιστοποιήσουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας περίπτωσης που οι "επίμαχοι" κύκλοι τέμνονται, όπως θα διαπιστώσουμε, καθαρά σε δύο σημεία). Στο σχήμα βλέπουμε την υπαρκτή περίπτωση οι αντίστοιχοι κύκλοι να μην έχουν κοινό σημείο και τέλος στο σχήμα , έχουμε τους αντίστοιχους κύκλους που εφάπτονται.
Επειδή το επίπεδο είναι συνεκτικός χώρος από μία τυχούσα τριάδα σημείων , εδώ της σφαίρας, θα «πέσουμε» σε μία από τις προηγούμενες γενικές περιπτώσεις μαζί με τις περιπτώσεις στο σχήμα ο κύκλος να ευρίσκεται εξωτερικά του κύκλου και ομοίως στο σχήμα
Άρα αν ισχύει η θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.
Καταρχάς αλλά κυρίως Καταρχήν: Είναι καθαρό, ότι για το παραπάνω Επιστημονικό Υπέρ-Άριστο οδοιπορικό από τον Κώστα και τον Γιώργο το μόνο που έχω να πω είναι ένα τεράστιο ευχαριστώ που ασχολήθηκαν σε υψηλό επίπεδο με βάση την τριλογία που πρότεινα.
Επιτρέψτε μου τώρα την διερευνητική μου σκέψη για το τρίτο ερώτημα με βάση την διαπραγμάτευση μου που παρουσίασα εξ αρχής και είναι η:
Στο διερευνηκό τώρα επίπεδο, ας δούμε τα σχήματα που ακολουθούν.S.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 16, 2021 9:16 pmΓια το τρίτο τώρα ερώτημα σκέφτηκα εν τάχει ως εξής: Αν υπάρχει το σημείο επαφής της σφαίρας με το επίπεδο και θεωρήσουμε τότε, ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο εφάπτεται στην ευθεία και ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο θα εφάπτεται στην ευθεία Άρα παίρνουμε: και Επομένως προσδιορίζεται στο επίπεδο το σημείο επαφής ως τομή των κύκλων και (Είναι μάλιστα εν γένει δύο τα σημεία τομής , ως τομές δύο κύκλων, άρα τελικά εν γένει θα έχουμε αντίστοιχα δύο σφαίρες). Έτσι με βάση τα σταθερά τρίγωνα κατασκευάζουμε την ζητούμενη σφαίρα με κέντρο την τομή των αντίστοιχων κάθετων ευθειών στα επίπεδα των τριγώνων και στα περίκεντρα τους……
Στο σχήμα , που είναι εύκολο να αποδείξουμε την ύπαρξη (με το να είναι εγγεγραμμένο), συνεπικουρούμενοι από το σημείο Miquel, έστω το δύο κύκλων που να τέμνονται σε δύο σημεία και αυτό επειδή, (Το τετράπλευρο το θεωρήσαμε εγγράψιμο απλά για να πιστοποιήσουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας περίπτωσης που οι "επίμαχοι" κύκλοι τέμνονται, όπως θα διαπιστώσουμε, καθαρά σε δύο σημεία). Στο σχήμα βλέπουμε την υπαρκτή περίπτωση οι αντίστοιχοι κύκλοι να μην έχουν κοινό σημείο και τέλος στο σχήμα , έχουμε τους αντίστοιχους κύκλους που εφάπτονται.
Επειδή το επίπεδο είναι συνεκτικός χώρος από μία τυχούσα τριάδα σημείων , εδώ της σφαίρας, θα «πέσουμε» σε μία από τις προηγούμενες γενικές περιπτώσεις μαζί με τις περιπτώσεις στο σχήμα ο κύκλος να ευρίσκεται εξωτερικά του κύκλου και ομοίως στο σχήμα
Άρα αν ισχύει η θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Αγαπητέ Σωτήρη καλημέρα,
σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα!
Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνηση -- ειδικότερα, οι συνθήκες που δίνεις στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#24) είναι βεβαίως ενδιαφέρουσες αλλά σχετικά 'δύσχρηστες', δεν είναι και τόσο 'ορατό', δοθέντων 3 αρχικών σημείων, αν αυτά τις ικανοποιούν... (Όχι βέβαια ότι και η δική μου συνθήκη, που έχει δοθεί στην δημοσίευση #11, είναι απόλυτα 'διαφανής'!)
Επί του θέματος λοιπόν ... δίνω ένα παράδειγμα δύο κύκλων που μόλις και μετά βίας ΔΕΝ έχουν κοινό σημείο και είναι εσωτερικός ο ένας του άλλου (μια περίπτωση που μου είχε διαφύγει ως χθες που την ανέφερες): αρχίζουμε με το επίπεδο ως και με τα σημεία , , 'πάνω' απ' αυτό, οπότε
... και ο κύκλος κέντρου και ακτίνας είναι μόλις και μετά βίας εσωτερικός του κύκλου κέντρου και ακτίνας (καθότι , βλέπε και συνημμένο)^ 'αντίστοιχα', ο περίκυκλος των έχει κέντρο περίπου στο και ακτίνα περίπου ... άρα περνάει ΚΑΙ 'κάτω' από το επίπεδο και συνεπώς δεν υπάρχει η ζητούμενη εφαπτόμενη σφαίρα.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ 7-2-2021 2:20 μμ: μπερδεύτηκα 'κάπως', ανάμεσα στις συνθήκες και , θα επανέλθω!
...Χωρίς λοιπόν να έχουμε αποκαταστήσει επαφή ανάμεσα στα δύο κριτήρια, χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι ισοδύναμα, βλέπουμε στο συγκεκριμένο παράδειγμα ότι η μη ύπαρξη εφαπτόμενης σφαίρας είναι οριακή σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια, κάτι είναι κι αυτό
σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα!
Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνηση -- ειδικότερα, οι συνθήκες που δίνεις στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#24) είναι βεβαίως ενδιαφέρουσες αλλά σχετικά 'δύσχρηστες', δεν είναι και τόσο 'ορατό', δοθέντων 3 αρχικών σημείων, αν αυτά τις ικανοποιούν... (Όχι βέβαια ότι και η δική μου συνθήκη, που έχει δοθεί στην δημοσίευση #11, είναι απόλυτα 'διαφανής'!)
Επί του θέματος λοιπόν ... δίνω ένα παράδειγμα δύο κύκλων που μόλις και μετά βίας ΔΕΝ έχουν κοινό σημείο και είναι εσωτερικός ο ένας του άλλου (μια περίπτωση που μου είχε διαφύγει ως χθες που την ανέφερες): αρχίζουμε με το επίπεδο ως και με τα σημεία , , 'πάνω' απ' αυτό, οπότε
... και ο κύκλος κέντρου και ακτίνας είναι μόλις και μετά βίας εσωτερικός του κύκλου κέντρου και ακτίνας (καθότι , βλέπε και συνημμένο)^ 'αντίστοιχα', ο περίκυκλος των έχει κέντρο περίπου στο και ακτίνα περίπου ... άρα περνάει ΚΑΙ 'κάτω' από το επίπεδο και συνεπώς δεν υπάρχει η ζητούμενη εφαπτόμενη σφαίρα.
ΠΡΟΣΘΗΚΗ 7-2-2021 2:20 μμ: μπερδεύτηκα 'κάπως', ανάμεσα στις συνθήκες και , θα επανέλθω!
...Χωρίς λοιπόν να έχουμε αποκαταστήσει επαφή ανάμεσα στα δύο κριτήρια, χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι ισοδύναμα, βλέπουμε στο συγκεκριμένο παράδειγμα ότι η μη ύπαρξη εφαπτόμενης σφαίρας είναι οριακή σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια, κάτι είναι κι αυτό
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Επανέρχομαι για διευκρινίσεις ... όσον αφορά την εφαρμογή του δικού μου κριτηρίου (και τα της δημοσίευσης #11):gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 07, 2021 12:56 pm...Χωρίς λοιπόν να έχουμε αποκαταστήσει επαφή ανάμεσα στα δύο κριτήρια, χωρίς να έχουμε αποδείξει ότι είναι ισοδύναμα, βλέπουμε στο συγκεκριμένο παράδειγμα ότι η μη ύπαρξη εφαπτόμενης σφαίρας είναι οριακή σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια, κάτι είναι κι αυτό
Όπως είδαμε, ο περίκυκλος των έχει κέντρο περίπου στο και ακτίνα περίπου . Ισχύει βεβαίως η ανισότητα , καθώς , αυτό όμως δεν σημαίνει -- όπως νόμισα προς στιγμήν νωρίτερα σήμερα -- ότι ο περίκυκλος περνάει ΚΑΙ 'κάτω' από το επίπεδο (οπότε δεν υπάρχει η ζητούμενη σφαίρα). Για να ισχύει αυτό οφείλει να ισχύει η ισχυρότερη ανισότητα . Αναφερόμενοι στο σχήμα της δημοσίευσης #11, παρατηρούμε ότι για να υπολογίσουμε το οφείλουμε να προσδιορίσουμε πρώτα το , δηλαδή το σημείο τομής της καθέτου στο
με το επίπεδο . (Υπολόγισα το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα, όπως άλλωστε και τον περίκυκλο, του στο WolframAlpha.) Προκύπτει ότι ... καθότι ο περίκυκλος είναι σχεδόν κατακόρυφος (βλέπε και συνημμένο). Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το μέσω της
που δίνει : παρατηρούμε ότι , άρα όντως δεν υπάρχει η ζητούμενη σφαίρα (ΚΑΙ με το δικό μου κριτήριο).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Την απειρία των λύσεων στο πρώτο ερώτημα, μπορούμε να την δούμε και αν εξετάσουμε που κινείται το κέντρο αυτών των σφαιρών.S.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 16, 2021 9:16 pm
1. Δίνεται επίπεδο και δύο σημεία που δεν ανήκουν σε αυτό και ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο από τους δύο που το επίπεδο χωρίζει τον χώρο. Να κατασκευαστεί σφαίρα που διέρχεται από τα σημεία και εφάπτεται στο επίπεδο Πόσες τέτοιες σφαίρες υπάρχουν;
Το κέντρο αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου , το σημείο τομής της με το επίπεδο και ακτίνα ίση με με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Ας παρατηρηθεί εδώ ότι τελικά μόνον στην περίπτωση που ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου είναι δυνατόν να μην υπάρχει σημείο επαφής των δύο κύκλων (όπως και στο παράδειγμα της δημοσίευσης #15) ή να υπάρχει ακριβώς ένα σημείο επαφής! Πράγματι, αν είναι η προβολή του επί του τότεS.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 06, 2021 6:53 pmΆρα αν ισχύει η θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.F1.pngF2.pngF3.png
ΠΡΟΣΘΗΚΗ 23-2-21: βλέπε σχετικά και δημοσίευση #33 παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τρί Φεβ 23, 2021 6:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Πολύ σωστά γράφει, αποδείχνει και παρουσιάζει με σχήμα ο Al.Koutsouridis σχετικά με το γ.τόποAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 07, 2021 11:33 pmΤην απειρία των λύσεων στο πρώτο ερώτημα, μπορούμε να την δούμε και αν εξετάσουμε που κινείται το κέντρο αυτών των σφαιρών.S.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 16, 2021 9:16 pm
1. Δίνεται επίπεδο και δύο σημεία που δεν ανήκουν σε αυτό και ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο από τους δύο που το επίπεδο χωρίζει τον χώρο. Να κατασκευαστεί σφαίρα που διέρχεται από τα σημεία και εφάπτεται στο επίπεδο Πόσες τέτοιες σφαίρες υπάρχουν;
Το κέντρο αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου , το σημείο τομής της με το επίπεδο και ακτίνα ίση με με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος .
των κέντρων των σφαιρών αυτών στο πρώτο ερώτημα.
Επειδή με προκαλεί το θέμα αυτό, αναρτώ ένα σχήμα και ένα δυναμικό αρχείο για την περίπτωση αυτή χωρίς λόγια...
Δυναμικό αρχείο:
Κώστας Δόρτσιος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Καλησπέρα κ.Δόρτσιο,KDORTSI έγραψε: ↑Δευ Φεβ 08, 2021 6:51 pmΠολύ σωστά γράφει, αποδείχνει και παρουσιάζει με σχήμα ο Al.Koutsouridis σχετικά με το γ.τόποAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 07, 2021 11:33 pm
Το κέντρο αυτών των σφαιρών κινείται σε έλλειψη που είναι η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με βάση τον κύκλο κέντρου , το σημείο τομής της με το επίπεδο και ακτίνα ίση με με το μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος .
των κέντρων των σφαιρών αυτών στο πρώτο ερώτημα.
Επειδή με προκαλεί το θέμα αυτό, αναρτώ ένα σχήμα και ένα δυναμικό αρχείο για την περίπτωση αυτή χωρίς λόγια...
Κώστας Δόρτσιος
Για να είμαι ακριβοδίκαιος απόδειξη δεν δόθηκε, άλλα είναι απλή. Η περιγραφή της κατασκευής όντως φαίνεται στο σχήμα. Ατνίστροφα (χρησιμοποιώ το σχήμα σας), έστω ένα σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος και το ίχνος του στο επίπεδο βρίσκεται σε απόσταση από το σημείο τομής του επιπέδου αυτού με την ευθεία .
Θεωρούμε το εφαπτόμενο τμήμα στη σφαίρα με κέντρο το σημείο και ακτίνα . Τότε θα έχουμε
Άρα το είναι ίσο με την ακτίνα της παραπάνω σφαίρας και εφόσον κάθετο στο επίπεδο θα είναι το σημείο επαφής αυτής με το δεδομένο επίπεδο.
Για το τρίτο ερώτημα νομίζω μπορούμε να εργαστούμε αντίστοιχα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τρεις διαφορετικές (εν γένει) ελλείψεις και ψάχνουμε τα κοινά τους σημεία.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Εναλλακτικά, τομή δύο κυλίνδρων -- είναι αυτοί που ορθώνονται πάνω από τους δύο κύκλους του Σωτήρη -- και η τομή αυτής με τα τρία μεσοκάθετα επίπεδα ή/και την 'μεσοκάθετο ευθεία' του (που χρησιμοποίησα στην δική μου προσέγγιση, είναι η κάθετος στο στο περίκεντρο του).Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 08, 2021 7:50 pmΓια το τρίτο ερώτημα νομίζω μπορούμε να εργαστούμε αντίστοιχα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τρεις διαφορετικές (εν γένει) ελλείψεις και ψάχνουμε τα κοινά τους σημεία.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Είναι έτσι τα πράγματα; Στην δική μου προσέγγιση έχουμε ένα άμεσο κριτήριο ύπαρξης της ζητούμενης σφαίρας, που δεν είναι άλλο από την μη τομή του περίκυκλου του δοθέντος τριγώνου με το δοθέν επίπεδο. Άμεσο το κριτήριο, δύσκολη όμως η εφαρμογή του, καθώς η μη τομή είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα και ο υπολογισμός των είναι αρκετά απαιτητικός, όπως φάνηκε και από το παράδειγμα που έδωσα. Στην προσέγγιση του Σωτήρη δεν είναι τόσο άμεση η περιγραφή των δύο κύκλων των οποίων η ύπαρξη τομής είναι ισοδύναμη προς την ύπαρξη της ζητούμενης σφαίρας, είναι όμως σχετικά εύκολος ο προσδιορισμός των κέντρων και των ακτίνων τους. Όπως και να έχει, δεν έχουμε κατανοήσει πλήρως γιατί το να είναι ο ένας κύκλος εσωτερικός του άλλου είναι ισοδύναμο προς την (αντίστροφη) ανισότηταgbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 07, 2021 12:56 pmΑγαπητέ Σωτήρη καλημέρα,
σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, και σ' ευχαριστούμε για το πολύ όμορφο πρόβλημα!
Θα δώσω παρακάτω ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που 'φέρνει κοντά' τις δύο προσεγγίσεις: όπως ήδη έγραψα (#13) η δική σου προσέγγιση είναι κυρίως κατασκευή, ενώ η δική μου κυρίως διερεύνηση -- ειδικότερα, οι συνθήκες που δίνεις στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (#24) είναι βεβαίως ενδιαφέρουσες αλλά σχετικά 'δύσχρηστες', δεν είναι και τόσο 'ορατό', δοθέντων 3 αρχικών σημείων, αν αυτά τις ικανοποιούν... (Όχι βέβαια ότι και η δική μου συνθήκη, που έχει δοθεί στην δημοσίευση #11, είναι απόλυτα 'διαφανής'!)
ΠΡΟΣΘΗΚΗ 23-2-21: βλέπε σχετικά και αμέσως επόμενη δημοσίευση (#33)
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τρί Φεβ 23, 2021 6:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΕΙΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΩΡΟ R^3, TON ΔΙΚΟ ΜΑΣ ΧΩΡΟ.
Ας παρατηρηθεί ότι τα πράγματα δεν είναι ακριβώς έτσι: στο σχήμα που χρησιμοποιήθηκε για την παραπάνω απόδειξη μου (βλέπε δημοσίευση #28) το είναι όντως το πλησιέστερο στο επίπεδο , και η παραπάνω απόδειξη μου είναι έγκυρη --οι δύο κύκλοι του Σωτήρη που προκύπτουν χρησιμοποιώντας τα και τα ή τέμνονται ή είναι εσωτερικός ο ένας του άλλου^ αν όμως χρησιμοποιηθούν είτε οι δύο κύκλοι που αντιστοιχούν στα και είτε οι δύο κύκλοι που αντιστοιχούν στα και , τότε αυτοί μπορούν όντως να είναι μη τεμνόμενοι ΚΑΙ εξωτερικοί ο ένας του άλλου!gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Φεβ 08, 2021 4:44 pmΑς παρατηρηθεί εδώ ότι τελικά μόνον στην περίπτωση που ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός του άλλου είναι δυνατόν να μην υπάρχει σημείο επαφής των δύο κύκλων (όπως και στο παράδειγμα της δημοσίευσης #15) ή να υπάρχει ακριβώς ένα σημείο επαφής! Πράγματι, αν είναι η προβολή του επί του τότεS.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 06, 2021 6:53 pmΆρα αν ισχύει η θα έχουμε δύο σημεία τομής των «επίμαχων» κύκλων, αν οι κύκλοι θα εφάπτονται και αν οι κύκλοι δεν θα έχουν κοινό σημείο.F1.pngF2.pngF3.png
TAB-FAC.png
Ως παράδειγμα για την παραπάνω κατάσταση χρησιμοποιώ το παράδειγμα της δημοσίευσης #25, με , , , και οι τρεις μη τεμνόμενοι κύκλοι που προκύπτουν εικονίζονται στο συνημμένο (αριστερά). Στο ίδιο συνημμένο (δεξιά) δίνω ένα παράδειγμα ύπαρξης εφαπτόμενης σφαίρας με , , , όπου, αναμενόμενα, οι τρεις κύκλοι τέμνονται στα ίδια σημεία (κέντρα των δύο εφαπτόμενων σφαιρών).
[Εννοείται ότι στην περίπτωση μοναδικής σφαίρας και μοναδικού σημείου επαφής, όπως αυτής του παραδείγματος του Κώστα (δημοσίευση #23), οι τρεις κύκλοι θα εφάπτονται στο ίδιο σημείο (οπότε έχουμε δύο ζεύγη εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων και ένα ζεύγος εσωτερικά εφαπτόμενων κύκλων υποχρεωτικά).]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες