ΟΓΚΟΣ ΚΟΛΟΥΡΟΥ ΚΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνεται κύκλος κέντρου

και ακτίνας $\rho .$ Έστω $\left ( \varepsilon \right )$ ο η εφαπτομένη του κύκλου στο σταθερό σημείο του

Να ορισθεί η θέση της διαμέτρου $BO\Gamma$ έτσι ώστε αν σχεδιαστούν οι $BB',\Gamma \Gamma '$ κάθετοι στην $\left ( \varepsilon \right )$ , ο όγκος του κόλουρου κώνου που γράφεται από το τραπέζιο $\Gamma \Gamma 'B'B$ στρεφόμενο περί την $B' \Gamma '$ να είναι ίσος με $\displaystyle\frac{5\pi }{4}\rho ^{3}.$

Το θέμα αυτό το σκέφτηκα σήμερα το πρωί στο σχολείο, στο δίωρο κενό που είχα...

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 02, 2021 8:47 pm
Δίνεται κύκλος κέντρου και ακτίνας $\rho .$ Έστω $\left ( \varepsilon \right )$ ο η εφαπτομένη του κύκλου στο σταθερό σημείο του Να ορισθεί η θέση της διαμέτρου $BO\Gamma$ έτσι ώστε αν σχεδιαστούν οι $BB',\Gamma \Gamma '$ κάθετοι στην $\left ( \varepsilon \right )$ , ο όγκος του κόλουρου κώνου που γράφεται από το τραπέζιο $\Gamma \Gamma 'B'B$ στρεφόμενο περί την $B' \Gamma '$ να είναι ίσος με $\displaystyle\frac{5\pi }{4}\rho ^{3}.$

Με βάση το σχήμα όπου $BB' =a,\, CC' =b, \,B'C'=h$ , ο όγκος του κόλουρου κώνου είναι $V = \dfrac {1}{3}\pi (a^2+ab+b^2)h$ .

Όμως επειδή η

είναι διάμετρος έχουμε για κάποιο

ότι $a=R-x,\, b = R+x$ . Επίσης από Πυθαγόρειο έχουμε $\frac {1}{2} h = \sqrt {R^2-x^2}$ , άρα ο όγκος του κόλουρου κώνου παίρνει τώρα την μορφή

$V = \dfrac {2}{3}\pi (3R^2+x^2)\sqrt {R^2-x^2}$ .

Έχουμε λοιπόν την εξίσωση $\dfrac {2}{3}\pi (3R^2+x^2)\sqrt {R^2-x^2}=\dfrac{5\pi }{4}R ^{3}$ ή αλλιώς

$8(3R^2+x^2)\sqrt {R^2-x^2}=15R ^{3}$

Με ύψωση στο τετράγωνο και αρκετές πράξεις καταλήγω (ελπίζω να τα έκανα σωστά) ότι $x=\dfrac {\sqrt 3}{2}R$ (οι άλλες ρίζες είναι αρνητικές ή μιγαδικές). Τα υπόλοιπα είναι άμεσα, π.χ. παρατηρώντας ότι η διάμετρος σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία 60^o

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Σε ευχαριστώ πολύ Μιχάλη που ασχολήθηκες με το θέμα.
Με ουσιαστικά ίδιες σκέψεις κατέληξα στο ίδιο αποτέλεσμα.

ΟΓΚΟΣ ΚΟΛΟΥΡΟΥ ΚΩΝΟΥ

ΟΓΚΟΣ ΚΟΛΟΥΡΟΥ ΚΩΝΟΥ

Re: ΟΓΚΟΣ ΚΟΛΟΥΡΟΥ ΚΩΝΟΥ

Re: ΟΓΚΟΣ ΚΟΛΟΥΡΟΥ ΚΩΝΟΥ

Μέλη σε σύνδεση