Καθετότητα από καθετότητα

#1

: καθετότητα από καθετότητα.png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ και τα ύψη του. Να δειχθεί ότι $OD\bot DS$ με το σημείο τομής της καθέτου επί την στο με την

Σημείωση: Πολύ πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί στο

#2

: καθετότητα απο καθετότητα_βήμα 1.png (17.53 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Ας είναι

το μέσο της

,

το συμμετρικό του

ως προς το

και

το άλλο σημείο τομής της

με το κύκλο .

Επειδή η γωνία $\widehat {APH'} = 90^\circ$ , ως βαίνουσα σε ημικύκλιο το πεντάγωνο APFHE

είναι εγγράψιμο.

: καθετότητα απο καθετότητα_βήμα_2.png (24.73 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Ας είναι τώρα

το κέντρο του κύκλου διαμέτρου

και

το σημείο τομής των AH,EF

.

Οι κύκλοι : $\left( O \right)\,\,,\,\,\left( K \right)$ και ο διαμέτρου

έχουν ριζικό κέντρο το σημείο

.

Η τετράδα : $\left( {D,L\backslash H,A} \right)$ είναι αρμονική άρα και η δέσμη : $\left( {JD,JL\backslash JH,JA} \right)$ .

Φέρνω την από το

παράλληλη στην

και τέμνει τις , JH,JL,JA

στα

με το

μέσο του

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο PTH

η διάμεσος $\boxed{TS = SH = ST}$ άρα οι SH,SP

είναι εφαπτόμενες του κύκλου $\left( K \right)$ .

: καθετότητα απο καθετότητα_βήμα 3.png (39.8 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Δείτε τώρα ότι : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ γιατί το $\vartriangle SPH$ ισοσκελές και SH//DM

, $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ (χορδής κι εφαπτομένης ) και $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ αφού $\boxed{KS// = \frac{1}{2}AT}$ , άρα

$\boxed{\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_2}}}$ .

Αρκεί τώρα να δείξω ότι : $\boxed{\vartriangle MOD \approx \vartriangle HSD \Leftrightarrow \frac{{OM}}{{SH}} = \frac{{DM}}{{HD}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{KH = OM} \frac{{KH}}{{SH}} = \frac{{DM}}{{HD}}}$ που ισχύει γιατί , $\vartriangle KHS \approx \vartriangle MDH$ .

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 10, 2021 12:32 am
καθετότητα από καθετότητα.png
Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ και τα ύψη του. Να δειχθεί ότι $OD\bot DS$ με το σημείο τομής της καθέτου επί την στο με την

Σημείωση: Πολύ πιθανόν να έχει ξανασυζητηθεί στο

Έστω

οι ορθές προβολές των D,A

επί την

και

η προβολή του

στην

και ας είναι $\left( O \right),\left( K \right)$ οι περίκυκλοι των ομοίων προφανώς τριγώνων (

αντιπαράλληλη της

) , με

προφανώς το μέσο της

.
Από το Θεώρημα του Nagel το

είναι σημείο της

και από την ενδιαφέρουσα συνευθειακότητα προκύπτει ότι το συμμετρικό {A}'

του

ως προς την

βρίσκεται στην ευθεία

Στο τρίγωνο $\vartriangle AH{A}'\overset{K,T\,\,\tau \alpha \,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\delta \upsilon o\,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \omega \nu \,\,\tau o\upsilon }{\mathop{\Rightarrow }}\,KT\parallel HO$ $\overset{Z,H,{A}'\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{\Rightarrow }}\,KT\parallel ZH\overset{AT\parallel DZ,AK\parallel HD}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle KTA\sim \vartriangle HZD:\left( 1 \right)$

: καθετότητα από καθετότητα.png (20.91 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Από τα προφανώς όμοια (ισογώνια) τρίγωνα $\vartriangle AFE,\vartriangle ACB$ είναι $\angle KTA=\angle ODA$ (γωνίες ομολόγων τμημάτων ομοίων τριγώνων) και συνεπώς $\vartriangle ODA\sim \vartriangle AKT$ (δύο γωνίες ίσες μια προς μια) και μεταβατικά προκύπτει ότι: $\vartriangle HZD\sim \vartriangle ODA\Rightarrow \dfrac{DZ}{HD}=\dfrac{AD}{AO}\overset{{D}'T=DZ\left( D{D}'\bot AO \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{{D'}T}{HD}=\dfrac{AD}{AO}:\left( 2 \right)$
Από τη σχέση $\left( 2 \right)$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $OD\bot SD$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση : Να πω ότι το Θέμα έχει ξανασυζητηθεί (όπως με πληροφόρησε ο Κωνσταντίνος) εδώ και μάλιστα έχει γενικευτεί όπου δόθηκαν από ΓΙΓΑΝΤΕΣ λύσεις

Εγώ το έκλεψα από άρθρο του Ayme όπου η απόδειξή του είναι διαφορετική από αυτή

Καθετότητα από καθετότητα

Καθετότητα από καθετότητα

Re: Καθετότητα από καθετότητα

Re: Καθετότητα από καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση