ΣΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ...
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ΣΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ...
Σήμερα το πρωί στο γραφείο των καθηγητών, ανάμεσα σε βαθμούς απολυτηρίων και μητρώα, βρήκα λίγο χρόνο να δω μια ανισότητα...
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...
Σε τρίγωνο ισχύει ότι
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...
Σε τρίγωνο ισχύει ότι
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Σάβ Ιούλ 23, 2022 2:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: ΣΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ...
Καλησπέρα κ. ΤηλέμαχεΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Παρ Ιουν 24, 2022 3:48 pmΣήμερα το πρωί στο γραφείο των καθηγητών, ανάμεσα σε βαθμούς απολυτηρίων και μητρώα, βρήκα λίγο χρόνο να δω μια ανισότητα...
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...
Σε τρίγωνο ισχύει ότι
Είναι , οπότε κάνοντας την αντικατάσταση Ravi (), είναι
, άρα .
Οπότε, αρκεί να δείξουμε ότι
Η προς απόδειξη είναι ομογενής, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι , και άρα αρκεί να δείξουμε ότι
Είναι όμως, λόγω της ΑΜ-ΓΜ,
όπου η τελευταία ισχύει διότι ισοδυναμεί με , που ισχύει καθώς όπου η προτελευταία ανισότητα ισχύει διότι .
Οπότε, αθροίζοντας κυκλικά προκύπτει ότι
όπως θέλαμε.
Παρατήρηση: Η ανισότητα δεν είναι ουρανοκατέβατη. Χρησιμοποιούμε την Tangent Line method.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΣΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ...
Καλημέρα σε όλους!ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Παρ Ιουν 24, 2022 3:48 pmΣήμερα το πρωί στο γραφείο των καθηγητών, ανάμεσα σε βαθμούς απολυτηρίων και μητρώα, βρήκα λίγο χρόνο να δω μια ανισότητα...
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...
Σε τρίγωνο ισχύει ότι
Έστω η περίμετρος, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και το εμβαδόν του τριγώνου. Ως γνωστόν είναι:
Θα δείξω τώρα ότι Πράγματι,
Ομοίως, όπου με πρόσθεση κατά μέλη και από την
προκύπτει το ζητούμενο
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ...
Ας δούμε ακόμη μία προσέγγιση:
Άρα
Επίσης από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε
Το ζητούμενο έπεται
Άρα
Επίσης από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε
Το ζητούμενο έπεται
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΣΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ...
Να ευχαριστήσω τον Ορέστη Λιγνό, το Γιώργο Βισβίκη και το Δημήτρη Χριστοφίδη για τις λύσεις τους.
Νομίζω ότι τώρα πρέπει να γράψω τις δικές μου σκέψεις που οδήγησαν στην ανισότητα που έθεσα.
Ήθελα έναν αριθμό τέτοιο ώστε
Tην ανισότητα αυτή την ήθελα για να αντιμετωπίσω κάποιο άλλο πρόβλημα.
Ξεκίνησα κι όπου βγει...
Δεν είναι πολύ δύσκολο να διαπιστωθεί ότι για τους θετικούς
τα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου.
Έστω το εμβαδόν και η ημιπερίμετρος αντίστοιχα του τριγώνου με πλευρές
Εύκολα διαπιστώνεται ότι
Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με πλευρές
Ισχύει
Θυμήθηκα ότι στο τρίγωνο ισχύει ότι
από τη δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 81&t=56792
Στο τρίγωνο με πλευρές η ανισότητα αυτή γράφεται
Ισχύει ότι
Κατέληξα έτσι στην ανισότητα που πρότεινα...
Νομίζω ότι τώρα πρέπει να γράψω τις δικές μου σκέψεις που οδήγησαν στην ανισότητα που έθεσα.
Ήθελα έναν αριθμό τέτοιο ώστε
Tην ανισότητα αυτή την ήθελα για να αντιμετωπίσω κάποιο άλλο πρόβλημα.
Ξεκίνησα κι όπου βγει...
Δεν είναι πολύ δύσκολο να διαπιστωθεί ότι για τους θετικούς
τα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου.
Έστω το εμβαδόν και η ημιπερίμετρος αντίστοιχα του τριγώνου με πλευρές
Εύκολα διαπιστώνεται ότι
Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με πλευρές
Ισχύει
Θυμήθηκα ότι στο τρίγωνο ισχύει ότι
από τη δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 81&t=56792
Στο τρίγωνο με πλευρές η ανισότητα αυτή γράφεται
Ισχύει ότι
Κατέληξα έτσι στην ανισότητα που πρότεινα...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες