Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με
$\displaystyle a=1, b=\sqrt{2} , c=\sqrt{\frac{5}{3}}$ .

Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a}$ , το ύψος $h_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

#2

Ας είναι $\displaystyle{AM,BN,CK}$ η διάμεσος, το ύψος, η συμμετροδιάμεσος, αντίστοιχα. Από αντίστροφο Ceva, αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{AK}{BK}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1,}$

η οποία λόγω της $\displaystyle{BM=MC}$ γράφεται

$\displaystyle{\frac{AK}{KB}=\frac{AN}{CN}.}$

Είναι, ως γνωστόν, $\displaystyle{\frac{AK}{KB}=\frac{b^2}{a^2}}$ και $\displaystyle{AN=c\cos A, CN=a\cos C}$ , οπότε η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\frac{b^2}{a^2}=\frac{c \cos A}{a\cos C}\iff \cdots \iff a^4+b^4=c^2(a^2+b^2),}$ το οποίο εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Nα ευχαριστήσω το Θάνο για τη λύση του. Αυτή ήταν και η δική μου σκέψη.
Η ισότητα στην οποία κατέληξε ο Θάνος , η $\displaystyle a^4+b^4=c^2(a^2+b^2)$ , μας υποδεικνύει
άπειρα τρίγωνα τα οποία έχουν την ιδιότητα που ζητά το θέμα.

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 10:02 pm Δίνεται τρίγωνο με
$\displaystyle a=1, b=\sqrt{2} , c=\sqrt{\frac{5}{3}}$ .

Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a}$ , το ύψος $h_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

Για το συγκεκριμένο τρίγωνο, με

διάμεσο,

ύψος, θα δείξω ότι η

είναι συμμετροδιάμεσος.

: Σ-Υ-Δ.png (10.07 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

$\displaystyle {c^2} - {a^2} = {x^2} - {y^2} \Leftrightarrow \frac{2}{3} = \sqrt 2 (x - y),$ απ' όπου παίρνω $\displaystyle x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3},y = \frac{{\sqrt 2 }}{3}.$

Από Ceva τώρα, $\displaystyle \frac{{BM}}{{MC}} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{{AE}}{{EB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{EB}} = 2 = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{1}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$ και το ζητούμενο έπεται.

Ομοίως για πλευρές a, b, c

βγαίνει και ο γενικός τύπος.

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 10:02 pm Δίνεται τρίγωνο με
$\displaystyle a=1, b=\sqrt{2} , c=\sqrt{\frac{5}{3}}$ .

Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος $m_{a}$ , το ύψος $h_{b}$ και η συμετροδιάμεσος $s_{c}$ συντρέχουν.

Ας είναι :

διάμεσος ,

συμμετροδιάμεσος και

το σημείο τομής τους . Θα δείξω ότι η $BP \bot AC$ .

Έστω

η τομή της

με την

. Πρώτα- πρώτα από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω: $\cos A = \dfrac{{2\sqrt {30} }}{{15}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Θ . $Van\,Aubel\,\,,\,\,Steiner$ : $\dfrac{{BP}}{{PK}} = \dfrac{{BE}}{{EA}} + \dfrac{{BM}}{{MC}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 1 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$ άρα $\dfrac{{KP}}{{PB}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

: Διάμεσος ύψος συμμετροδιάμεσος_new.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Θ. Μενελάου στο $\vartriangle KBC$ με διατέμνουσα $\overline {APM}$ :

$\dfrac{{KP}}{{PB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AK}} = 1$ που λόγω της $\left( 2 \right)$ γίνεται : $\dfrac{2}{3} \cdot 1 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{{AK}} = 1 \Rightarrow AK = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\,\,\left( 3 \right)$

Αρκεί τώρα να δείξω ότι ισχύει το Π. Θ. στο $\vartriangle KAB$ δηλαδή ότι $B{K^2} = \dfrac{7}{9}$ που

προκύπτει από Θ. συνημίτονου στο ίδιο τρίγωνο λόγω της $\left( 1 \right)$ .

Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

Re: Συμετροδιάμεσος-Ύψος-Διάμεσος συντρέχουν

Μέλη σε σύνδεση