Όμορφη επαφή κύκλων από μέσο, τομές και επαφές

[Henri van Aubel]

Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος οξυγώνιου τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα και η ευθεία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα σημεία και Αν το μέσο του τμήματος , να δείξετε ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.

[Batapan]

Αρχικά επειδή , το παράκεντρο ανήκει στον

Θεωρούμε τα σημεία και το σήμειο που εφάπτεται στον Παρεγγεγραμένο κύκλο η εφαπτομένη απο το
Θα δείξουμε πως εφάπτεται και στον στο

Πρώτον επειδή η πολική του ως προς τον Παρεγγεγραμένο είναι η και , συμπεραίνουμε ( από Θεώρημα La Hire ) ότι ανήκει στην πολική του , δηλαδή συνευθειακά

Τώρα θέλουμε να δείξουμε πως είναι εγγράψιμο
Έστω

Θα είναι και από τα Ορθογώνια τρίγωνα και συμπεραίνουμε πως είναι μέσο της

Άρα

άρα, εγγράψιμο, όπως θέλαμε.

Τέλος με δύναμη σημείου έχουμε άρα εφάπτεται στον στο , δηλαδή οι δύο κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένη στο συνεπώς εφάπτονται στο

mathematica geo.png (76.57 KiB) Προβλήθηκε 1274 φορές

Νομίζω σχετικά γνωστή άσκηση

[Henri van Aubel]

Καλησπέρα και ευχαριστώ τον εξαιερετικό Παναγιώτη για την λύση του ! Ομολογώ ότι δεν γνώριζα αν είναι γνωστή η άσκηση ή όχι, βάζω και τη δική μου λύση

Έστω το παράκεντρο του τριγώνου , η δεύτερη τομή της ευθείας με τον κύκλο και το μέσο του τμήματος

Έχουμε το κέντρο του κύκλου οπότε , όμως

Θεωρούμε το μέσο του τμήματος , τότε , οπότε εγγράψιμο .

Επομένως και συνεπώς ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας

Όμως , στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας , ο κύκλος γίνεται η ευθεία

Τελικά, στην αντιστροφή κέντρου και ακτίνας , ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος και ο κύκλος γίνεται η ευθεία , η οποία εφάπτεται του κύκλου Επομένως και στο αρχικό σχήμα, οι κύκλοι και εφάπτονται, όπως θέλαμε.