Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Έστω ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι και το έγκεντρο του τριγώνου . Το σημείο είναι το περίκεντρο του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Θέτουμε , και
Υποθέτουμε ότι η ευθείες και τέμνονται στο σημείο Είναι
Αφού
,
έπεται ότι
Υποθέτουμε ότι οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο
Είναι
Εξάλλου και
Επομένως και αφού ,
έπεται ότι
Συνεπώς, έχουμε και αφού με τα προς το ίδιο μέρος του ως προς την ευθεία , έπεται ότι και η απόδειξη τελείωσε.
Υποθέτουμε ότι η ευθείες και τέμνονται στο σημείο Είναι
Αφού
,
έπεται ότι
Υποθέτουμε ότι οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο
Είναι
Εξάλλου και
Επομένως και αφού ,
έπεται ότι
Συνεπώς, έχουμε και αφού με τα προς το ίδιο μέρος του ως προς την ευθεία , έπεται ότι και η απόδειξη τελείωσε.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Καλησπέρα Γιάννη και Κώσταgiannimani έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2023 11:37 pmΈστω ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι και το έγκεντρο του τριγώνου . Το σημείο είναι το περίκεντρο του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και διέρχονται από το ίδιο σημείο.
orthoc_incent .png
Ας δούμε και μια αμιγώς συνθετική λύση του όμορφου αυτού προβλήματος !
Ας είναι τα ύψη του τριγώνου , τα σημεία επαφής του έγκυκλου του και το μέσο της (προφανώς το κέντρο του κύκλου του περιγεγραμμένου τετραπλεύρου (λόγω των ορθών γωνιών (από τα ύψη)))
Από τα ομοκυκλικά σημεία σε κύκλο διαμέτρου (λόγω των ορθών γωνιών) προκύπτει ότι συνευθειακά και με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι και συνευθειακά και ας είναι το σημείο τομής της ευθείας με την
Από τα εφαπτομενικά στον τμήματα
Από το Θεώρημα του Nagel είναι γνωστό ότι και Από το πλήρες τετράπλευρο με κορμό εγγεγραμμένο στον κύκλο προκύπτει (γνωστότατη πρόταση (άλλωστε η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο ) ότι (μάλιστα το σημείο τομής τους είναι το σημείο Miquel του πλήρους αυτού τετραπλεύρου
Από το ορθόκεντρο (σημείο τομής δύο υψών) και του τριγώνου , οπότε
Το σημείο (όπως ορίστηκε) βρίσκεται επί της πολικής του ως προς τον και συνεπώς είναι αρμονική δέσμη , όπου με είναι τα σημεία τομής της με τον κύκλο και την ευθεία αντίστοιχα και με εφαπτόμενη του προκύπτει ότι είναι η πολική του ως προς τον , άρα
Από και με δεδομένο ότι (κάθετες στην ) προκύπτει ότι τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μια προς μία, άρα είναι όμοια (και ομοιόθετα) και οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους θα διέρχονται από το ίδιο σημείο , δηλαδή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Στάθη, που είσαι; Δεν έχω λόγια για τη λύση που έδωσες, κανείς δεν έχει λόγια .
Πιο συχνά να σε βλέπουμε !
Πιο συχνά να σε βλέπουμε !
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Το ορθόκεντρο είναι και έγκεντρο...
Μπορούμε να αποδείξουμε κι αλλιώς ότι τα τρίγωνα και είναι ομοιόθετα και τότε παίρνουμε το ζητούμενο.
Θέτω και
Από την ισογωνιότητα προκύπτει και είναι γνωστό πως , οπότε αρκεί νδο ή ισοδύναμα αρκεί νδο Θα το πάμε με bashing που βγαίνει ανώδυνα.
Είναι
Εξάλλου
Επομένως, αρκεί νδο
που ισχύει...
Θέτω και
Από την ισογωνιότητα προκύπτει και είναι γνωστό πως , οπότε αρκεί νδο ή ισοδύναμα αρκεί νδο Θα το πάμε με bashing που βγαίνει ανώδυνα.
Είναι
Εξάλλου
Επομένως, αρκεί νδο
που ισχύει...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες