ΣΕΒΙΑΝΕΣ GERGONNE KAI KATI AKOMA.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

To παρακάτω θέμα βρέθηκε ψάχνοντας...

Δίνεται τρίγωνο ABC

και ο περιγεγραμμένος κύκλος του.
Έστω D,E,F

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

με τις πλευρές BC,CA,AB

αντίστοιχα.
Η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

στο

η

στο

η

στο

Nα αποδειχθεί ότι τα τμήματα μήκους $AD\cdot CK, CF\cdot BP, BE \cdot AL$ σχηματίζουν τρίγωνο.

Τα τμήματα λέγονται σεβιανές Gergonne του τριγώνου

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Noμίζω ότι οφείλω να γράψω τη λύση...

Κατ' αρχήν να τονίσω ότι CD=s-c, AE=s-a, BF=s-b.

Aπό την ομοιότητα των τριγώνων ADB, CDF

προκύπτει ότι

$\displaystyle\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CK}\Rightarrow AD\cdot CK=c\cdot\left ( s-c \right )$

Mε αντίστοιχες σκέψεις μπορεί να αποδειχθεί ότι

$BE\cdot AL=a\cdot\left ( s-a \right )$ από την ομοιότητα των τριγώνων AEL, BEC

και ότι

$CF\cdot BP=b\cdot\left ( s-b \right )$ από την ομοιότητα των τριγώνων BPF, CAF.

Απομένει να αποδειχθεί ότι τα μήκη $a\cdot\left ( s-a \right ),b\cdot\left ( s-b \right ),c\cdot\left ( s-c \right )$

μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο.

Θα αποδειχθεί ότι $a\left ( s-a \right )< b\left ( s-b \right )+c\left ( s-c \right )$

H ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με την

$as-a^{2}< bs-b^{2}+cs-c^{2}\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}< \left ( b+c-a \right )s\Leftrightarrow$

$2\left ( b^{2} +c^{2}-a^{2}\right )< \left ( b+c-a \right )2s\Leftrightarrow 2b^{2}+2c^{2}-2a^{2}< \left ( b+c-a \right )\left ( b+c+a \right )\Leftrightarrow$

$2b^{2} +2c^{2}-2a^{2}< \left ( b+c \right )^{2}-a^{2}\Leftrightarrow 2b^{2} +2c^{2}-2a^{2}<b^{2}+2bc+c^{2}-a^{2}\Leftrightarrow$

$b^{2}-2bc+c^{2}< a^{2}\Leftrightarrow \left ( b-c \right )^{2}< a^{2}\Leftrightarrow \left | b-c \right |< a$

Η τελευταία ανισότητα ισχύει, άρα και η ισοδύναμή της αρχική ανισότητα.

Όμοια μπορεί να αποδειχθεί ότι

$b\left ( s-b \right )< a\left ( s-a \right )+c\left ( s-c \right )$

και ότι

$c\left ( s-c\right )< a\left ( s-a \right )+b\left ( s-b \right )$

To ζητούμενο αποδείχθηκε.

ΣΕΒΙΑΝΕΣ GERGONNE KAI KATI AKOMA.

ΣΕΒΙΑΝΕΣ GERGONNE KAI KATI AKOMA.

Re: ΣΕΒΙΑΝΕΣ GERGONNE KAI KATI AKOMA.

Μέλη σε σύνδεση