Διαιρείται με το 7;

#1

Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

$\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}$

#2

matha έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:20 pm
Μάλλον καταλληλότερο για Ευκλείδη Β-Γ' Λυκείου:

Να εξετάσετε αν

$\displaystyle{7| \binom{1000}{500}.}$

Από τον τύπο του Legendre (υπάρχει σε Θεωρίες Αριθμών και η απόδειξη είναι προσιτή) η μεγαλύτερη δύναμη του (πρώτου) αριθμού

που διαιρεί τον 1000!

είναι

$\displaystyle{\left \lfloor \frac {1000}{7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {1000}{7^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {1000}{7^3} \right \rfloor +...}$ ,
εδώ 142+20+2+0=164

. Όμοια για τον 500!

είναι $\displaystyle{\left \lfloor \frac {500}{7} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {500}{7^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac {500}{7^3} \right \rfloor +...=71+10+1+0=82}$ . Με άλλα λόγια $\displaystyle{1000!= 7^{164}N, \, 500!= 7^{82}M}$ όπου οι ακέραιοι $N, \, M$ δεν έχουν

στην ανάλυσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Έτσι ο ακέραιος $\displaystyle{\binom{1000}{500}=\frac {1000!}{500!500!} = \frac {7^{164}N}{(7^{82}M)^2}= \frac {N}{M^2}}$ δεν έχει

γιατί αλλιώς θα είχε

ο $\displaystyle{M^2 \binom{1000}{500}=N}$

#3

Ας δούμε και μια προσέγγιση με το Θεώρημα Kummer το οποίο λέει το εξής:

Η μεγαλύτερη δύναμη ενός πρώτου

η οποία διαιρεί τον αριθμό $\binom{n}{m}$ ισούται με το πλήθος των φορών που πρέπει να κρατήσουμε ψηφίο όταν προσθέσουμε τα

και

στην βάση

.

Π.χ. επειδή $500 = 7^3 + 3\cdot 7^2 + 1 \cdot 7 + 3$ τότε 500 = (1313)_7

. Επειδή στην πρόσθεση (1313)_7 + (1313)_7 = (2626)_7

δεν κρατάμε ψηφίο, τότε ο

δεν διαιρεί το $\binom{1000}{500}$ .

Το Θεώρημα του Kummer μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Legendre που ανέφερε ο Μιχάλης.

minageus · #4

Είναι άμεση εφαρμογή του τύπου του de Polignac.
Η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το 1000!

είναι το $\sum_{3}^{k=1}\left \lfloor \frac{1000}{7^k} \right \rfloor=164$ .
Ομοίως η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το 500!

είναι το 82. Όμως,
$\binom{1000}{500}=\frac{1000!}{(500!)^2}$ . Άρα, η μεγαλύτερη δύναμη του

πο διαιρεί τον αρχικό αριθμό είναι το $164-2\cdot 82=0$ .

Διαιρείται με το 7;

Διαιρείται με το 7;

Re: Διαιρείται με το 7;

Re: Διαιρείται με το 7;

Re: Διαιρείται με το 7;

Μέλη σε σύνδεση