Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)

Datis-Kalali · #1

Αν

ειναι θετικοι ακεραιοι ετσι ωστε $a,b \neq c$ . Να αποδειξειτε οτι υπαρχει απειροι πρωτοι αριθμοι

, ετσι ωστε υπαρχουν τουλαχιστον ενας θετικος ακεραιος

, για τον οποια ισχυει,
$p\vert a^n+b^n-c^n$

#2

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των a,b,c

ισούται με

. (Αν

ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τότε εργαζόμαστε με τους a'=a/d,b'=b/d

και

.

Ας υποθέσουμε πως υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι τέτοιοι πρώτοι, έστω οι $p_1,\ldots,p_k$ .

Θέτουμε $n = p(p_1-1) \cdots (p_k-1)$ για κάποιον αρκετά μεγάλο πρώτο αριθμό

Από το μικρό θεώρημα του Fermat, για κάθε $1 \leqslant i \leqslant k$ έχουμε $a^n + b^n - c^n \not \equiv 0 \bmod p_i$ εκτός και αν ο p_i

διαιρεί ακριβώς έναν από τους a,b

και δεν διαιρεί τον

. Στην τελευταία περίπτωση, αν p_i|a

τότε έχουμε τα εξής:

$v_{p_i}(a^n) \geqslant n$
$\displaystyle{\begin{aligned} v_{p_i}(b^n-c^n) &= v_{p_i}\left((b^{p_i-1})^{n/(p_i-1)}-(c^{p_i-1})^{n/(p_i-1)} \right) \\ &= v_{p_i-1}(n/(p_i-1)) + v_{p_i-1}(b^{p_i-1}-c^{p_i-1}) \\ &= v_{p_i-1}(n/p(p_i-1)) + v_{p_i-1}(b^{p_i-1}-c^{p_i-1}) \\ &= v_{p_i-1}(p_1-1) + \cdots + v_{p_i-1}(p_k-1) + v_{p_i-1}(b^{p_i-1}-c^{p_i-1}) \end{aligned}}$

Εδώ, χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό v_q(N)

για την μεγαλύτερη δύναμη του

η οποία διαιρεί τον

. Στην τρίτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε το Lifting The Exponenent Lemma. (Ο p_i

διαιρεί τον $b^{p_i-1}-c^{p_i-1}$ . Στην τέταρτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο

είναι αρκετά μεγάλος και ειδικότερα ότι είναι μεγαλύτερος του p_i

.

Θέτουμε $\displaystyle{ m_i = v_{p_i-1}(p_1-1) + \cdots + v_{p_i-1}(p_k-1) + v_{p_i-1}(b^{p_i-1}-c^{p_i-1})}$ . Επίσης αν $a^n + b^n - c^n \not \equiv 0 \bmod p_i$ τότε θέτουμε m_i=0

. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι n > m_i

για κάθε

. Επομένως παίρνουμε

$\displaystyle{ v_{p_i}(a^n + b^n - c^n) = m_i}$

Επειδή οι μόνοι πρώτοι που διαιρούν τον a^n+b^n - c^n

είναι οι $p_1,\ldots,p_k$ καταλήγουμε στο ότι $\displaystyle{ |a^n+b^n-c^n| \leqslant p_1^{m_1} \cdots p_k^{m_k}.}$ Αυτό όμως είναι άτοπο για

αρκετά μεγάλο.

Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)

Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)

Re: Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)

Μέλη σε σύνδεση