Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)
Αν ειναι θετικοι ακεραιοι ετσι ωστε . Να αποδειξειτε οτι υπαρχει απειροι πρωτοι αριθμοι , ετσι ωστε υπαρχουν τουλαχιστον ενας θετικος ακεραιος , για τον οποια ισχυει,
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των ισούται με . (Αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τότε εργαζόμαστε με τους και .
Ας υποθέσουμε πως υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι τέτοιοι πρώτοι, έστω οι .
Θέτουμε για κάποιον αρκετά μεγάλο πρώτο αριθμό
Από το μικρό θεώρημα του Fermat, για κάθε έχουμε εκτός και αν ο διαιρεί ακριβώς έναν από τους και δεν διαιρεί τον . Στην τελευταία περίπτωση, αν τότε έχουμε τα εξής:
Εδώ, χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό για την μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί τον . Στην τρίτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε το Lifting The Exponenent Lemma. (Ο διαιρεί τον . Στην τέταρτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο είναι αρκετά μεγάλος και ειδικότερα ότι είναι μεγαλύτερος του .
Θέτουμε . Επίσης αν τότε θέτουμε . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι για κάθε . Επομένως παίρνουμε
Επειδή οι μόνοι πρώτοι που διαιρούν τον είναι οι καταλήγουμε στο ότι Αυτό όμως είναι άτοπο για αρκετά μεγάλο.
Ας υποθέσουμε πως υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι τέτοιοι πρώτοι, έστω οι .
Θέτουμε για κάποιον αρκετά μεγάλο πρώτο αριθμό
Από το μικρό θεώρημα του Fermat, για κάθε έχουμε εκτός και αν ο διαιρεί ακριβώς έναν από τους και δεν διαιρεί τον . Στην τελευταία περίπτωση, αν τότε έχουμε τα εξής:
Εδώ, χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό για την μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί τον . Στην τρίτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε το Lifting The Exponenent Lemma. (Ο διαιρεί τον . Στην τέταρτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο είναι αρκετά μεγάλος και ειδικότερα ότι είναι μεγαλύτερος του .
Θέτουμε . Επίσης αν τότε θέτουμε . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι για κάθε . Επομένως παίρνουμε
Επειδή οι μόνοι πρώτοι που διαιρούν τον είναι οι καταλήγουμε στο ότι Αυτό όμως είναι άτοπο για αρκετά μεγάλο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες