Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Παρ Φεβ 10, 2017 8:22 pm

Αν m,n ειναι ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε mn \vert m^2+n^2+m,
Να αποδείξετε ότι m είναι τέλειο τετράγωνο.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Φεβ 11, 2017 8:21 am

Έστω πρώτος p με v_p(m) = 2k + 1 (δηλαδή p^{2k+1} \mid m, p^{2k+2} \nmid m).

Ισχύει v_p(m^2) = 4k + 2. Επίσης, αφού m \mid n^2, ισχύει v_p (n) \geqslant k+1 \implies v_p(n^2) \geqslant 2k + 2.

Έτσι, v_p (m^2 + n^2 + m) = 2k + 1 = v_p (m), οπότε v_p (n) = 0 < k+1 (για να ισχύει η διαιρετότητα) που είναι άτοπο.

Οπότε ο v_p(m) είναι πάντα άρτιος και ο m είναι τέλειο τετράγωνο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης