Απ΄όλα

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Απ΄όλα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Ιούλ 05, 2017 5:57 pm

Να βρείτες όλες της μη-αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

2^x+3^y+5^z=a!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 315
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Απ΄όλα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Ιούλ 05, 2017 10:15 pm

Αρχικά παίρνουμε την περίπτωση a\geq 5,x,y,z\geq 1.
Άν x\equiv 0\pmod2,με \pmod4 πρέπει y\equiv 1 \pmod2 και με \pmod3 πρέπει z\equiv 1 \pmod2
.Με \pmod10 και επειδή το τελευταίο ψηφίο του a! είναι το 0, καταλήγουμε σε άτοπο.

Αν x\equiv 1\pmod2,για x\geq 3 με όμοιο τρόπο με πριν παίρνουμε z\equiv 0 \pmod2,y\equiv1 \pmod2.Έπειτα, με\pmod8(επειδή a\geq 5) καταλήγουμε σε άτοπο.(2*4^{k}+3*9^{l}+25^{m}\equiv 4\pmod8).
Τέλος ,παίρνουμε τις περιπτώσεις για τις οποίες τα παραπάνω δεν ισχύουν(a\leq 5,x\leq 2,y\leq 1,z\leq 1,όπου '','' ,''ή''.
Άν x=0,λόγω αρτιότητας και λόγω του ότι LHS\geq 3 καταλήγουμε σε άτοπο.
Άν y=0,2^{x}+5^{y}+1=a! το οποίο για x\geq 2,a\geq 4,z\geq 1(όπου '','',''και''') με \pmod4 δεν ισχύει(0\equiv 2 \pmod4) και συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο(παίρνοντας περιπτώσεις για x\leq 1 ,z=0 παίρνουμε την λύση (x,y,z,a)=(2,0,0,3).
Άν z=0 ομοίως παίρνουμε (με κατάλληλα mod) μοναδική λύση την (x,y,z,a)=(1,1,0,3).
Τέλος ελέγχουμε την περίπτωση a\leq 4 όπου και παίρνουμε τις ίδιες λύσεις.


Panagiotis11
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Απ΄όλα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Panagiotis11 » Τετ Ιούλ 05, 2017 10:45 pm

min## έγραψε: Τέλος ελέγχουμε την περίπτωση a\leq 4 όπου και παίρνουμε τις ίδιες λύσεις.
Καλησπέρα min##.

Για την περίπτωση a=4 έχουμε 2^x+3^y+5^z=24
από όπου μπορούμε να περιορίσουμε τις περιπτώσεις ελέγχου γιατί
0\leq z\leq 1
0\leq y\leq 2
0\leq x\leq 4

Ελέγχοντας παίρνουμε την λύση (x,y,z,a)=(4,1,1,4)
η οποία είναι η τρίτη και η τελευταία λύση της εξίσωσης


Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 315
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Απ΄όλα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Ιούλ 05, 2017 10:58 pm

yep...thanks δεν το είδα :wallbash:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες