Ακολουθία

Datis-Kalali · #1

Η ακολουθία $\{a_n\}_{n=1} ^{\infty}$ ορίζεται με τις σχέσεις:
a_1=a_2=a_3=1

, $a_{n+1}=\frac{a_n a_{n-1} +1}{a_{n-2}}$
Να δείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί ακέραιοι.

#2

Θέτουμε στην αναδρομική σχέση $\displaystyle{n\to n+1,}$ οπότε έχουμε τις σχέσεις

$\displaystyle{\begin{cases}a_{n+2}a_{n-1}=a_{n+1}a_n+1, \\ a_{n+1}a_{n-2}=a_n a_{n-1}+1.\end{cases}}$

Με αφαίρεση προκύπτει

$\displaystyle{a_{n+2}a_{n-1}-a_{n+1}a_{n-2}=a_{n+1}a_n-a_n a_{n-1}}$

η οποία γράφεται ως

$\displaystyle{\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}.}$

Τότε, η ακολυθία $\displaystyle{b_n:=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}}$ ικανοποιεί την $\displaystyle{b_{n+2}=b_n.}$ Επειδή προφανώς είναι $\displaystyle{b_3=2, b_4=3,}$ είναι

$\displaystyle{b_n=\begin{cases}2,~~if~~n~~odd, \\ 3,~~if~~n~~even\end{cases}}$ .

Άρα

$\displaystyle{a_n=ka_{n-1}-a_{n-2}}$ για κάθε $\displaystyle{n,}$ όπου $\displaystyle{k=2\vee 3.}$ Τώρα το ζητούμενο είναι άμεσο επαγωγικά.

#3

Λήμμα: Αν $a_n,a_{n+1},\ldots,a_{n+5}$ είναι θετικοί ακέραιοι, τότε και ο $a_{n+6}$ είναι θετικός ακέραιος.

Απόδειξη λήμματος: :Έχουμε διαδοχικά τα εξής:

$\displaystyle a_{n+5} = \frac{a_{n+4}a_{n+3}+1}{a_{n+2}} \Rightarrow a_{n+2}a_{n+5} \equiv 1 \bmod a_{n+3} \qquad (1)$
$\displaystyle a_{n+4} = \frac{a_{n+3}a_{n+2}+1}{a_{n+1}} \Rightarrow a_{n+1}a_{n+4} \equiv 1 \bmod a_{n+3} \qquad (2)$
$\displaystyle a_{n+3} = \frac{a_{n+2}a_{n+1}+1}{a_{n}} \Rightarrow a_{n+1}a_{n+2} \equiv -1 \bmod a_{n+3} \qquad (3)$

Από τις (1)-(3) παίρνουμε $a_{n+4}a_{n+5} \equiv -1 \bmod a_{n+3}$ . Οπότε ο $\displaystyle a_{n+6} = \frac{a_{n+4}a_{n+5}+1}{a_{n+3}}$ είναι ακέραιος, προφανώς θετικός.

Οπότε το λήμμα αποδείχθηκε. Το ζητούμενο τώρα έπεται επαγωγικά αφού είναι εύκολο να δούμε ότι οι a_1=a_2=a_3=1,a_4=2,a_5=3

και

είναι θετικοί ακέραιοι.

Ακολουθία

Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση