2 πρώτοι και ένας φυσικός

Xriiiiistos · #1

Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων (r,p,q)

, με

να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ

$\frac{r^{2}-5q^{2}}{p^{2}-1}=2$

Ορέστης Λιγνός · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 30, 2018 11:44 am
Να βρεθούν οι τριαάδες φυσικών ακέραιων , με να είναι πρώτοι, ώστε να ισχύ

$\frac{r^{2}-5q^{2}}{p^{2}-1}=2$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Πρέπει

(1).

Έστω πως οι πρώτοι p, q

δεν διαιρούνται με το

.

Τότε:

$r^2\equiv 5+2-2 \pmod{3}\Leftrightarrow r^2\equiv 2 \pmod{3}$ , άτοπο (Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ένα τέλειο τετράγωνο είναι είτε της μορφής

είτε

, με

μη αρνητικό ακέραιο ακέραιο και η πρώτη περίπτωση ισχύει μόνο αν η βάση διαιρείται με το

).

Ως αποτέλεσμα ένας τουλάχιστον από τους p, q

θα διαιρείται με το

.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) 3|p

. Λόγω του ότι ο

είναι πρώτος έχουμε το ότι p=3

.

Επομένως η (1) γίνεται:

r^2=5q^2+16

Έστω $q\ne 2$ .

Τότε το q^2

είναι περιττός, άρα και το

θα είναι περιττός. Από γνωστό λήμμα θα είναι $q^2\equiv 1 \pmod{8}\Leftrightarrow 5q^2\equiv 5 \pmod{8}$ , άρα $r^2\equiv 5 \pmod{8}$ , άτοπο, καθώς $r^2\equiv 1 \pmod{8}$ .

Άρα q=2

και

, μια τριάδα λοιπόν είναι η (3, 2, 6)

.

2)

. Λόγω του ότι ο

είναι πρώτος έχουμε το ότι q=3

. Επομένως η (1) γίνεται:

r^2=43+2p^2

. Το

είναι προφανώς περιττός. Έστω $p\ne 2$ . Τότε όπως και παραπάνω το p^2

είναι περιττός, άρα $p^2\equiv 1 \pmod{8}$ , άρα $2p^2\equiv 2 \pmod{8}$ , άρα $r^2\equiv 5 \pmod{8}$ , άτοπο, καθώς $r^2\equiv 1 \pmod{8}$ .

Αν τώρα p=2

τότε έχουμε r^2=51

, άτοπο.

Συνοψίζοντας λοιπόν μοναδική λύση είναι η (p, q, r)=(3, 2, 6)

.

Τώρα σε είδα Ορέστη! Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης

...

2 πρώτοι και ένας φυσικός

2 πρώτοι και ένας φυσικός

Re: 2 πρώτοι και ένας φυσικός

Re: 2 πρώτοι και ένας φυσικός

Μέλη σε σύνδεση