Σελίδα 1 από 1

Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am
από 2nisic
Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την x=88,y=835 και την x=0,y=1

Re: Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 20, 2021 12:32 pm
από 2nisic

Re: Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 20, 2021 6:02 pm
από matha
2nisic έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 12:32 pm
Απάντηση:http://dxdy.ru/topic96678.html
Δεδομένου ότι δεν ομιλώ τη ρωσική γλώσσα, θα μπορούσες να μας γράψεις τη λύση;

Re: Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 21, 2021 3:07 pm
από bouzoukman
matha έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 6:02 pm
Δεδομένου ότι δεν ομιλώ τη ρωσική γλώσσα, θα μπορούσες να μας γράψεις τη λύση;
Αν κάνετε δεξί κλικ σε οποιοδήποτε σημείο της σελίδα και επιλέξετε να σας κάνει μετάφραση στα αγγλικά θα μπορέσετε να διαβάσετε τη λύση.

Re: Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 22, 2021 6:34 pm
από 2nisic
Πλέον κάνει αυτόματη μετάφραση το ίντερνετ σε οποιαδήποτε σελίδα βρίσκεσται.

Re: Θεωρία Αριθμών

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 30, 2021 3:40 pm
από 2nisic
2nisic έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am
Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την x=88,y=835 και την x=0,y=1
Αν x=odd με mod8 έχουμε y^2=7(mod8) αδύνατο.
Έστω d=(x,y) και p ένας πρώτος p|d μετά :
p|d|x^2+y^2=(x+1)^3. Οπότε p|x+1,p|x \Rightarrow p=1 αδύνατο.
Άρα d=1 και x=even.

(x+yi)(x-yi)=(x+1)^3.
Έστω d=(x+yi,x-yi) τότε:
d|x+yi+x-yi=2x\Rightarrow N(d)|4x^{2}
d|[x+yi-(x-yi)](-i)=2y\Rightarrow N(d)|4y^{2}
Αλλά επειδή (x,y)=1 έχουμε N(d)|4
d|x^2+y^2\Rightarrow N(d)|(x^2+y^2)^2=(x+1)^6=odd
Άρα N(d)=1 οπότε οι x+yi,x-yi είναι πρώτη μεταξύ τους καί άρα τέλειοι κύβοι.

x+yi=(a+bi)^3 και x-yi=(a-bi)^3 οπότε x+1=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\Rightarrow x=a^2+b^2-1
x+yi=a^3-3ab^2+i(3a^2b-b^3).
Άρα x=a^3-3ab^2=a^2+b^2-1.
b^2=\frac{a^3-a^2+1}{3a+1}.
Οπότε 3a+1|a^3-a^2+1
3a+1|3[-3[-3(a^3-a^2+1)+a^2(3a+1)]+4a(3a+1)]-4(3a+1)=23

Οπότε(a,b):(0,+-1),(-8,+-5) και δίνουν (x,y):(0,+-1),(88,+-835).