Hong Kong προκριματικός 1994

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Hong Kong προκριματικός 1994

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Ιαν 30, 2021 9:03 pm

Να βρεθούν όλοι οι x,y,z φυσική αριθμοί τέτοιοι ώστε:

7^{x}+1=3^{y}+5^{z}


Σημείωση:Δεν έχω λύση(βρήκα)



Λέξεις Κλειδιά:
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Σάβ Ιαν 30, 2021 9:49 pm

2nisic έγραψε:
Σάβ Ιαν 30, 2021 9:03 pm
Να βρεθούν όλοι οι x,y,z φυσική αριθμοί τέτοιοι ώστε:

7^{x}+1=3^{y}+5^{z}


Σημείωση:Δεν έχω λύση(βρήκα)
Δες εδώ- https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 62#p283462.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Κυρ Ιαν 31, 2021 12:22 am

Μίας και έχει ξανατεθει την μετατρέπω λίγο.
Να βρεθούν όλοι οι x,y,z,w,t φυσικοί αριθμοί τετοιοι ώστε:

7^x+1=3^y*19^z*2^t+5^w
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Δευ Φεβ 08, 2021 11:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Κυρ Ιαν 31, 2021 11:11 am

Λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Philip.kal σε Κυρ Ιαν 31, 2021 6:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Κυρ Ιαν 31, 2021 5:50 pm

Philip.kal έγραψε:
Κυρ Ιαν 31, 2021 11:11 am
Καλημέρα. Με \mod 7 παίρνουμε: LHS \equiv 1 (\mod 7). Επίσης, είναι: 3^y \cdot 19^z \equiv 1 (\mod 7). Συνεπώς, προκειμένου να υπάρξει λύση, θα πρέπει: 5^w \equiv 0 (\mod 7). Όμως, είναι 5^w \equiv (-2)^w (\mod 7)
, οπότε, καταλήγουμε σε άτοπο. Συνεπώς, η δοθείσα εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Η λύσει σου έχει λαθοι.
3^y \cdot 19^z \equiv 1 (\mod 7) αυτό δεν ισχύει πάντα π.χ. y=2 και z=1
Υπάρχουν λύσεις π.χ. x=y=w=1 και z=0


Joaakim
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Τρί Μαρ 30, 2021 7:17 pm

2nisic έγραψε:
Κυρ Ιαν 31, 2021 12:22 am
Μίας και έχει ξανατεθει την μετατρέπω λίγο.
Να βρεθούν όλοι οι x,y,z,w,t φυσικοί αριθμοί τετοιοι ώστε:

7^x+1=3^y*19^z*2^t+5^w
Αν t>0, τότε το LHS είναι άρτιος αριθμός, ενώ το RHS περιττός, άτοπο.
Άρα t=0, και έχω την 7^{x}+1=3^{y} 19^{z}+5^{w}.
- Αν x=0, τότε 3^{y} 19^{z}+5^{w}=2 \Rightarrow y=z=w=0 \Rightarrow (x,y,z,t,w)=(0,0,0,0,0).
Από εδώ και στο εξής υποθέτω ότι x>0.
- Αν y=0, τότε έχω την 7^{x}+1=19^{z}+5^{w}.
Για w=0 έχω 7^{x}=19^{z} \Rightarrow x=z=0, άτοπο.
Θεωρώ ότι w>0.
Με mod.3 είναι (-1)^{w}=1^{x}+1-1^{z}=1 (mod.3), άρα ο w άρτιος. Θέτω w=2w_{1}.
Έτσι έχω την 7^{x}+1=19^{z}+25^{w_{1}}.
Με mod.5 έχω ότι 2^{x}=(-1)^{z}-1(mod.5).
Αν ήταν τώρα z άρτιος, τότε 2^{x}=0(mod.5) \Rightarrow 5|2^{x}, άτοπο.
Άρα z περιττός, και τότε 2^{x}=-2=3(mod.5).
Λόγω του ότι \varphi(5)=4, μπορούμε να πάρουμε ότι ord_{5} (2)=4, και ακολουθεί ότι x=3(mod.4).
Θέτω z=2z_{1}+1, x=2x_{1}+1, και έτσι έχω την 7 \cdot 49^{x_{1}}+1=19^{2z_{1}+1}+25^{w_{1}}.
Με mod.8 τώρα παίρνω ότι 7 \cdot 1^{x_{1}}+1=3^{2z_{1}+1}+1^{w_{1}} (mod.8) \Rightarrow 7+1=3 \cdot 9^{z_{1}}+1 \Rightarrow
\Rightarrow 7=3 \cdot 1^{z_{1}} (mod.8) \Rightarrow 7=3(mod.8), που είναι προφανώς άτοπο.
Από εδώ και στο εξής θεωρώ ότι y>0.
- Αν z=0, τότε έχω την αρχική. Από εδώ και στο εξής θεωρώ ότι z>0.
- Αν w=0, τότε έχω την 7^{x}=3^{y} 19^{z} \Rightarrow x=y=z=0, άτοπο.
Από εδώ και στο εξής θεωρώ ότι w>0.

- Μας μένει τώρα η εξίσωση 7^{x}+1=3^{y} 19^{z}+5^{w}, για x,y,z,w>0.
Έχω δοκιμάσει πολλά modulo, και πήρα ότι x,z,w περιττοί και y άρτιος,
αλλά δεν μπόρεσα να πάρω άτοπο (είμαι σίγουρος ότι δεν έχουμε λύσεις), ας με διαφωτίσει κάποιος :( :lol: .


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Hong Kong προκριματικός 1994

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τετ Μαρ 31, 2021 12:22 am

2nisic έγραψε:
Κυρ Ιαν 31, 2021 12:22 am
Μίας και έχει ξανατεθει την μετατρέπω λίγο.
Να βρεθούν όλοι οι x,y,z,w,t φυσικοί αριθμοί τετοιοι ώστε:

7^x+1=3^y*19^z*2^t+5^w

Προφανώς t=0 θα δείξουμε ότι z=0.
Αν z>0 τότε:
Με mod19 έχουμε:
LHS\equiv 2,8,12(mod19)
RHS\equiv 1,4,5,6,7,9,11,16,17(mod19)
Αδύνατο!

Άρα καταλήγουμε στην 7^x+1=3^y+5^w που έχει λυθεί!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης