Ακολουθία ακεραίων

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Ακολουθία ακεραίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μάιος 31, 2010 10:32 pm

Να δείξετε ότι:

α) υπάρχει μοναδική ακολουθία θετικών ακεραίων \displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots τέτοια ώστε \displaystyle n=\sum_{d|n}a_d, για κάθε θετικό ακέραιο n.

β) υπάρχει μοναδική ακολουθία θετικών ακεραίων \displaystyle b_1,b_2,b_3,\cdots τέτοια ώστε \displaystyle n=\prod_{d|n}b_d, για κάθε θετικό ακέραιο n.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2711
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ακολουθία ακεραίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Μάιος 31, 2010 11:05 pm

Για το (α) δειτε viewtopic.php?f=63&t=7192

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ακολουθία ακεραίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 01, 2010 11:33 am

socrates έγραψε:Να δείξετε ότι:

β) υπάρχει μοναδική ακολουθία θετικών ακεραίων \displaystyle b_1,b_2,b_3,\cdots τέτοια ώστε \displaystyle n=\prod_{d|n}b_d, για κάθε θετικό ακέραιο n.
Για την μοναδικότητα, αν c_1,c_2,\ldots ήταν μια άλλη ακολουθία που ικανοποιούσε τις συνθήκες και k ο μικρότερος δείκτης για τον οποίο b_k \neq c_k τότε θα είχαμε \displaystyle{k = \prod_{d|k}b_d = b_k \prod_{d|k,d\neq k} b_d = b_k \prod_{d|k,d\neq k} c_d \neq \prod_{d|k}c_d = k,} άτοπο.

Για την ύπαρξη, αφού πρώτα βρούμε αρκετά από τα b_i (πήγα μέχρι το b_{12}) μαντεύουμε ότι b_k = 1 αν k=1 ή αν υπάρχουν τουλάχιστον δυο διαφορετικοί πρώτοι που διαιρούν τον k και b_k = p αν p είναι ο μοναδικός πρώτος που διαιρεί τον k. Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι η συνθήκη ικανοποιείται.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ακολουθία ακεραίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιουν 23, 2010 2:54 am

γ) υπάρχει ακολουθία θετικών ακεραίων \displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots τέτοια ώστε ο αριθμός \displaystyle a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 να είναι τέλειο τετράγωνο , για κάθε θετικό ακέραιο n.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6038
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ακολουθία ακεραίων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Σεπ 23, 2016 8:59 pm

socrates έγραψε:γ) υπάρχει ακολουθία θετικών ακεραίων \displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots τέτοια ώστε ο αριθμός \displaystyle a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 να είναι τέλειο τετράγωνο , για κάθε θετικό ακέραιο n.
Επαναφορά! :)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ακολουθία ακεραίων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Σεπ 23, 2016 11:16 pm

socrates έγραψε:γ) υπάρχει ακολουθία θετικών ακεραίων \displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots τέτοια ώστε ο αριθμός \displaystyle a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 να είναι τέλειο τετράγωνο , για κάθε θετικό ακέραιο n.
Ναι. Ξεκινάμε παίρνοντας a_1 = 3. Έστω ότι καταφέραμε ήδη να βρούμε τους a_1,\ldots,a_n και ότι \displaystyle{a_1^2 + \cdots + a_n^2 = r^2}.

Αν r=2k, θέτουμε a_{n+1} = k^2-1 και παρατηρούμε ότι \displaystyle{a_1^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = (k^2+1)^2}.
Αν r=2k+1, θέτουμε a_{n+1} = 2k(k+1) και παρατηρούμε ότι \displaystyle{a_1^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = (2k^2+2k+1)^2}.

Άρα επαγωγικά μπορούμε όντως να κατασκευάσουμε την ζητούμενη ακολουθία. [Ο λόγος που ξεκινήσαμε από a_1 = 3 είναι για να είμαστε σίγουροι ότι το a_{n+1} είναι θετικό.]

[Οι τιμές που πήραμε για το a_{n+1} προέκυψαν χρησιμοποιώντας τον τύπο \displaystyle{ (a^2-b^2)^2 + (2ab)^2 = (a^2+b^2)^2 }. Π.χ. στην περίπτωση r=2k+1 που είναι λίγο πιο δύσκολη, ψάχνουμε a,b με a^2-b^2 = 2k+1 (αφού δεν μπορούμε να έχουμε 2ab = 2k+1). Αρκεί να πάρουμε a-b=1,a+b=2k+1 που δίνει a=k+1,b=k. Τότε θέτουμε a_{n+1} = 2ab = 2k(k+1).]


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης