Ρητές αποστάσεις από τετράγωνο;

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται ένα τετράγωνο με κορυφές στα σημεία $(\pm1, \pm1)$ . Υπάρχει άραγε στον άξονα των τετμημένων σημείο, οι αποστάσεις του οποίου από όλες τις κορυφές είναι ρητοί αριθμοί;

paulgai · #2

Δεν υπάρχει σημείο του άξονα

, του οποίου οι αποστάσεις από όλες τις κορυφές του τετραγώνου $(\pm1,\pm1)$ να είναι ρητοί αριθμοί. Ακολουθεί η απόδειξη:

Έστω ένα σημείο P=(x,0)

στον άξονα

. Οι δύο διαφορετικές (ίσες ανά ζεύγος) αποστάσεις του από τις κορυφές είναι:

$\displaystyle d_1=\sqrt{(x-1)^2+1},\qquad d_2=\sqrt{(x+1)^2+1}.$

Αν υποθέσουμε ότι και οι δύο αποστάσεις d_1, d_2

είναι ρητές, τότε ισχύει:

$\displaystyle d_1=a,\;d_2=b\in\mathbb{Q} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} a^{2}=x^{2}-2x+2,\\[2pt] b^{2}=x^{2}+2x+2. \end{cases}$

Πολλαπλασιάζοντας τις δύο εξισώσεις προκύπτει:

$\displaystyle a^{2}b^{2}=(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)=x^{4}+4.$

Άρα το $x^{4}+4$ πρέπει να είναι τετράγωνο ρητού αριθμού. Βάζοντας $x=\tfrac{p}{q}$ σε ανάγωγο κλάσμα, η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή:

$\displaystyle r^{2}=p^{4}+4q^{4}, \quad r\in\mathbb{Z}.$

Από την εξίσωση αυτή προκύπτει $p=0\Rightarrow x=0$ . Τότε όμως:

$\displaystyle d_1=d_2=\sqrt{0^{2}-0+2}=\sqrt{2}\notin \mathbb{Q},$

Για $p,q,r \neq 0$ έχει αποδειχθεί ότι η εξίσωση $r^{2}=p^{4}+4q^{4}$ δεν έχει ακέραιες ρίζες
https://arxiv.org/pdf/1311.1451

Ρητές αποστάσεις από τετράγωνο;

Ρητές αποστάσεις από τετράγωνο;

Re: Ρητές αποστάσεις από τετράγωνο;

Μέλη σε σύνδεση