Έντομο σε σκακιέρα

[dement]

Έστω σκακιέρα χωρισμένη σε μοναδιαία τετράγωνα. Κάθε ένα από τα τετράγωνα έχει σχεδιασμένο ένα βέλος που δείχνει πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά. Γύρω από τη σκακιέρα υπάρχει αδιαπέραστος τοίχος, με μοναδικό άνοιγμα στη δεξιά πλευρά του άνω δεξιά τετραγώνου.

Ένα έντομο βρίσκεται αρχικά σε ένα από τα τετράγωνα. Σε κάθε κίνησή του μετακινείται στο γειτονικό τετράγωνο που υποδεικνύεται από το βέλος του τετραγώνου στο οποίο βρίσκεται. Στη συνέχεια, αυτό το βέλος περιστρέφεται κατά σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Αν το έντομο δεν μπορεί να εκτελέσει την κίνηση, τότε παραμένει στο τετράγωνό του για αυτή την κίνηση, ενώ το βέλος περιστρέφεται κανονικά.

Υπάρχει περίπτωση το έντομο να μην ξεφύγει ποτέ από τη σκακιέρα;

[Demetres]

Ωραίο! Έχουμε πηγή;

Έστω ότι υπάρχει περίπτωση ώστε το έντομο να μην ξεφεύγει ποτέ από την σκακιέρα. Τότε θα υπάρξει μια πρώτη φορά στην οποία το έντομο επανέρχεται σε ένα τετραγωνάκι στο οποίο βρέθηκε και πριν και επιπλέον με όλα τα βέλη σε όλα τα τετραγωνάκια να έχουν την ίδια φορά όπως και την πρώτη φορά.

Ας κοιτάξουμε το διάστημα μεταξύ των δύο φορών που βρέθηκε σε αυτό το τετραγωνάκι με όλες τις φορές των τόξων τις ίδιες. Τότε:

(α) Από κάθε τετραγωνάκι που πέρασε το έντομο, πέρασε τουλάχιστον τέσσερις φορές και μάλιστα τουλάχιστον μία φορά για κάθε πιθανή φορά του βέλους. [Αυτό συμβαίνει διότι από κάθε τετραγωνάκι που πέρασε, το βέλος πρέπει να επιστρέψει στην αρχική του θέση. Αν δεν φύγει από κάποιο ακριανό τετραγωνάκι και απλά αλλάξει φορά το βέλος, πάλι το μετράμε σαν ακόμη ένα πέρασμα από το τετραγωνάκι.]

(β) Αν πέρασε από ένα τετραγωνάκι, τότε πέρασε και από κάθε γειτονικό του τετραγωνάκι. [Προφανές από το (α).]

(γ) Πέρασε από όλα τα τετραγωνάκια. [Προφανές από το (β).]

(δ) Βγήκε τελικά έξω από την σκακιέρα. [Προφανές από τα (α) και (γ).]

[dement]

Το πρόβλημα είναι από το "Problem-Solving Methods in Combinatorics: An Approach to Olympiad Problems" του Pablo Soberon.